ON THE ROOTS OF THE POUPARD AND KREWERAS POLYNOMIALS

Sur les racines des polynômes de Poupard et Kreweras

Frédéric Chapoton (1) , Guo-Niu Han (1)

1 IRMA - Institut de Recherche Mathématique Avancée

The Poupard polynomials are polynomials in one variable with integer coefficients, with some close relationship to Bernoulli and tangent numbers. They also have a combinatorial interpretation. We prove that every Poupard polynomial has all its roots on the unit circle. We also obtain the same property for another sequence of polynomials introduced by Kreweras and related to Genocchi numbers. This is obtained through a general statement about some linear operators acting on palindromic polynomials.

Les polynômes de Poupard sont des polynômes en une variable à coefficients entiers, liés aux nombres de Bernoulli et aux nombres tangents.Ils ont aussi une interprétation combinatoire. On montre que chaque polynôme de Poupard a toutes ses racines sur le cercle unité. On obtient le même résultat pour une autre famille de polynômes introduite par Kreweras et liée aux nombres de Genocchi. Ces résultats sont obtenus comme conséquence d'énoncés plus généraux portant sur certains opérateurs agissant sur les polynômes palindromiques.

Mots clés: palindromic polynomial; complex root; unit circle; linear operator

Domaines: Combinatoire [math.CO]

Frédéric Chapoton, Guo-Niu Han. ON THE ROOTS OF THE POUPARD AND KREWERAS POLYNOMIALS. Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory, 2020, 9 (2), pp.163-172. ⟨hal-02427336⟩