Points rationnels dans leur fibre: compléments à un théorème de {P}oonen

Laurent Moret-Bailly (1)

1 IRMAR - Institut de Recherche Mathématique de Rennes

Let k be a field and let f : X → Y be a surjective morphism of k-varieties with dim Y = d ≥ 1. Improving on results of Poonen, we prove that there are subvarieties X' ⊂ X and Y' = f (X') ⊂ Y , of dimension d − 1, such that the induced morphism f : X' → Y' is purely inseparable. Moreover, we can take f to be an isomorphism if f is smooth, and we can take Y' smooth if Y is. If X is smooth, there is a closed point x ∈ X having the same residue field k' as f (x), with k' separable over k. We also prove arithmetic analogues.

Soient k un corps et f : X → Y un morphisme surjectif de k-variétés, avec dim Y = d ≥ 1. On précise des résultats de Poonen en montrant qu'il existe des sous-variétés X' ⊂ X et Y' = f (X') ⊂ Y , de dimension d − 1, telles que le morphisme induit f : X' → Y' soit radiciel. Si f est lisse, on peut exiger que f soit un isomorphisme, et l'on peut prendre Y' lisse si Y l'est. Si X est lisse, il existe un point fermé x de X ayant le même corps résiduel k' que f (x), k' étant de plus séparable sur k. Enfin, on donne des analogues arithmétiques.

Domaines: Géométrie algébrique [math.AG]

Laurent Moret-Bailly. Points rationnels dans leur fibre: compléments à un théorème de {P}oonen. 2019. ⟨hal-02343213v2⟩