About the optimal density associated to the chiral index of a sample from a bivariate distribution
À propos de la densité optimale associée à l'indice chiral d'un échantillon d'une distribution bivariée
Résumé
The complex quadratic form $z'Pz$, where $z$ is a fixed vector in $C^n$ and $z'$ is its transpose, and $P$ is any permutation matrix, is shown to be a convex combination of the quadratic forms $z'P_\sigma z$, where $P_\sigma$ denotes the symmetric permutation matrices. We deduce that the optimal probability density associated to the chiral index of a sample from a bivariate distribution is symmetric. This result is used to locate the upper bound of the chiral index of any bivariate distribution in the interval $[1−1/\pi, 1−1/2\pi]$.
Nous montrons que la forme quadratique complexe $z'Pz$, où $z$ est un vecteur donné dans $C^n$ et $z'$ est son transposé, et $P$ est une matrice de permutation, est une combinaison convexe des formes quadratiques $z'P_\sigma z$, où les $P_\sigma$ sont des matrices de permutation symétriques. On en déduit que la densité de probabilité optimale associée à l'indice chiral d'un échantillon d'une distribution bivariée est symétrique. Ce résultat est utilisé pour localiser la borne supérieure de l'indice chiral d'une distribution bivariée quelconque dans l'intervalle $[1−1/\pi, 1−1/2\pi]$.