On the radially symmetric traveling waves for the Schrödinger equation on the Heisenberg group
Autour des ondes progressives minimisantes radiales de l'équation de Schrödinger sur le groupe de Heisenberg
Résumé
We consider radial solutions to the cubic Schrödinger equation on the Heisenberg group
$$
i\partial_t u - \Delta_{\mathbb{H}^1} u = |u|^2u, \quad
\Delta_{\mathbb{H}^1} = \frac{1}{4}(\partial_x^2+\partial_y^2) + (x^2+y^2)\partial_s^2, \quad
(t,x,y,s) \in \mathbb{R}\times\mathbb{H}^1.
$$
This equation is a model for totally non-dispersive evolution equations. We show existence of ground state traveling waves with speed $\beta \in (-1,1)$. When the speed $\beta$ is sufficiently close to $1$, we prove their uniqueness up to symmetries and their smoothness along the parameter $\beta$. The main ingredient is the emergence of a limiting system as $\beta$ tends to the limit $1$, for which we establish linear stability of the ground state traveling wave.
Nous nous intéressons aux solutions radiales de l'équation de Schrödinger cubique sur le groupe de Heisenberg
$$
i\partial_t u - \Delta_{\mathbb{H}^1} u = |u|^2u, \quad
\Delta_{\mathbb{H}^1} = \frac{1}{4}(\partial_x^2+\partial_y^2) + (x^2+y^2)\partial_s^2, \quad
(t,x,y,s) \in \mathbb{R}\times\mathbb{H}^1.
$$
Cette équation est un modèle d'équation d'évolution entièrement non dispersive. Nous montrons l'existence d'ondes progressives minimisantes de vitesse $\beta \in (-1,1)$. Lorsque la vitesse $\beta$ est suffisamment proche de $1$, nous prouvons l'unicité de ces ondes progressives à symétrie près et leur régularité en fonction du paramètre $\beta$. L'ingrédient principal est l'émergence d'un système limite lorsque $\beta$ tend vers la limite $1$, pour lequel nous établissons la stabilité linéaire de l'onde progressive minimisante.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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