$G$-opérateurs au sens large et application à un théorème d'André sur les E-fonctions au sens large

Gabriel Lepetit (1, 2)

1 UGA [2016-2019] - Université Grenoble Alpes [2016-2019]
2 IF - Institut Fourier

We give a new proof of a theorem of André (2014) stating that every polynomial relation over Qbar between values of a family of E-functions in the broad sense (f_1,..., f_n) arises from a polynomial relation over Qbar(z) between the f_i(z). To this end, we prove a structure theorem on the G-operators in the broad sense : we begin by proving an analogue of Chudnovsky's theorem (1984) for the G-functions in the broad sense ; we then deduce from this that the minimal operator of a G-function in the broad sense is fuchsian. This makes possible to adapt to the case of the E-functions in the broad sense a proof of a theorem of Beukers (2006) , which is an analogue of André's theorem in the case of the E-functions in the narrow sense.

Nous donnons une nouvelle preuve d'un théorème d'André (2014) affirmant que toute relation polynomiale sur Qbar entre des valeurs d'une famille de E-fonctions au sens large (f_1,..., f_n) provient d'une relation polynomiale sur Qbar(z) entre les f_i(z). Pour cela, nous prouvons un théorème de structure sur les G-opérateurs au sens large : nous commençons par démontrer un analogue du théorème des Chudnovsky (1984) pour les G-fonctions au sens large, puis nous en déduisons que l'opérateur minimal d'une G-fonction au sens large est fuchsien. Ceci nous permet d'adapter au cas des E-fonctions au sens large une preuve d'un théorème de Beukers (2006), qui est un analogue du théorème d'André dans le cas des E-fonctions au sens strict.

Mots clés: E-functions; G-functions; E-operators; G-operators; Chudnovsky's theorem

Domaines: Théorie des nombres [math.NT]

Gabriel Lepetit. $G$-opérateurs au sens large et application à un théorème d'André sur les E-fonctions au sens large. 2019. ⟨hal-02024884v3⟩