Powers and division in the 'mathematical part' of Plato's Theaetetus
Résumé
In two articles ([Brisson-Ofman1, 2]), we have analyzed the so-called 'mathematical passage' of Plato's Theaetetus, the first dialogue of a trilogy including the Sophist and the Statesman. In the present article, we study an important point in more detail, the 'definition' of 'powers' ('δυνάμεις'). While in [Brisson-Ofman2], it was shown that the different steps to get the definition are mathematically and philosophically incorrect, it is explained why the definition itself is problematic. However, it is the first example, at least in the trilogy, of a definition by division. This point is generally ignored by modern commentators though, as we will try to show, it gives rise, in a mathematical context, to at least three fundamental questions: the meaning(s) of 'logos', the connection between 'elements and compound' and, of course the question of the 'power(s)'. One of the main consequences of our works on Theaetetus' 'mathematical passage', including the present one, is to challenge the so-called 'main standard interpretation'. In particular, following [Ofman2014], we question the claim that Plato praises and glorifies both the mathematician Theodorus and the young Theaetetus. According to our analysis, such a claim, considered as self-evident, entails many errors. Conversely, our analysis of Theaetetus' mathematical mistakes highlights the main cause of some generally overlooked failures in the dialogue: the forgetting of the 'logos', first in the 'mathematical part', then in the following discussion, and finally the failure of the four successive tries of its definition at the end of the dialogue. Namely, as we will show, the passage is closely connected with the problems studied at the end of the dialogue, but also to the two other parts of the trilogy through the method of 'definition by division'. Finally, if our conclusions are different from the usual ones, it is probably because the passage is analyzed, maybe for the first time, simultaneously from the philosophical, historical and mathematical points of view. It had been considered usually either as an excursus by historians of philosophy (for instance [Burnyeat1978]), or as an isolated text separated from the rest of the dialogue by historians of mathematics (for instance [Knorr1975]), or lastly as a pretext to discuss some astute developments in modern mathematics by mathematicians (for instance [Kahane1985]).
[Brisson-Ofman1]: Luc Brisson-Salomon Ofman, “Theodorus’ lesson in Plato’s Theaetetus
(147d3-d6) Revisited-A New Perspective”, to appear
[Brisson-Ofman2]: Luc Brisson-Salomon Ofman, “The Philosophical Interpretation of Plato’s
Theaetetus and the Final Part of the Mathematical Lesson (147d7-148b)”, to appear
[Burnyeat 1978]: Myles Burnyeat, “The Philosophical Sense of Theaetetus’ Mathematics”,
Isis, 69, 1978, 489-514
[Kahane1985]: Jean-Pierre Kahane, “la théorie de Théodore des corps quadratiques réels”,
L’enseignement mathématique, 31, 1985, p. 85-92
[Knorr1975]: Wilbur Knorr, The evolution of the Euclidean elements, Reidel, 1975
[Ofman2014]: Salomon Ofman, “Comprendre les mathématiques pour comprendre Platon-
Théétète (147d-148b)”, Lato Sensu, I, 2014, p. 70-80
Résumé.- Dans deux articles en cours de rédaction ([Brisson-Ofman1, 2]), nous avons étudié ce qu’on appelle le ‘passage mathématique’ du Théétète de Platon, le premier dialogue d’une trilogie comprenant aussi le Sophiste et le Politique. Dans le présent article, nous considérons plus en détail un point important : la ‘définition’ des puissances (‘δυνάμεις’), terme utilisés plusieurs fois avant d’être défini à la fin du passage. Dans [Brisson-Ofman2], nous avons montré que les différentes étapes pour obtenir cette définition sont incorrectes à la fois d’un point d’un vue mathématique et d’un point d’un vue philosophique. Nous expliquons ici pourquoi cette définition est elle-même problématiques. En dépit de ces erreurs, c’est la première tentative, au moins dans la trilogie, d’une définition par divisions, élément essentiel des deux autres dialogues. Ce point, souvent négligé par les commentateurs modernes, soulève, dans un cadre mathématique, certaines des plus importantes questions traitées dans la suite du dialogue : la signification du ‘logos’, la relation ‘éléments et composé’, et la définition des ‘puissances’. L’une des principales conséquences de nos études sur cette ‘partie mathématique’ est la mise en question de ce qu’on appelle ‘l’interprétation standard principale’. En particulier, dans la perspective d’un précédent article ([Ofman2014]), nous montrons que la thèse standard selon laquelle le dialogue est l’éloge à la fois du mathématicien Théodore et du jeune Théétète, doit être révisée. Nous montrons inversement de quelle manière les erreurs mathématiques dans cette partie mettent en lumière la cause principale, généralement ignorée, des échecs successifs de Théétète : l’oubli du ‘logos’, tout d’abord dans le ‘passage mathématique’, puis dans la discussion qui suit, et finalement dans les quatre essais successifs de sa définition. En fait, le passage est étroitement lié aux problèmes étudiés à la fin du dialogue, mais son importance provient également de sa relation à la méthode générale de ‘définition par divisions’, outils principal dans les deux autres parties de la trilogie. Enfin, si nos conclusions diffèrent de celles usuelles, c’est qu’il est, et cela peut-être pour la première fois, analysé simultanément des points de vue philosophique, historique et mathématique. Il est en effet considéré généralement soit comme une digression sans suite par les historiens de la philosophie (par exemple [Burnyeat1978]), soit à étudier isolément du reste du dialogue par les historiens des mathématiques (ainsi [Knorr1975]) ou encore comme prétexte à discussions sur certains développement subtils en mathématiques modernes par les mathématiciens (ainsi [Kahane1985]).
[Brisson-Ofman1]: Luc Brisson-Salomon Ofman, “Theodorus’ lesson in Plato’s Theaetetus
(147d3-d6) Revisited-A New Perspective”, to appear
[Brisson-Ofman2]: Luc Brisson-Salomon Ofman, “The Philosophical Interpretation of Plato’s
Theaetetus and the Final Part of the Mathematical Lesson (147d7-148b)”, to appear
[Burnyeat 1978]: Myles Burnyeat, “The Philosophical Sense of Theaetetus’ Mathematics”,
Isis, 69, 1978, 489-514
[Kahane1985]: Jean-Pierre Kahane, “la théorie de Théodore des corps quadratiques réels”,
L’enseignement mathématique, 31, 1985, p. 85-92
[Knorr1975]: Wilbur Knorr, The evolution of the Euclidean elements, Reidel, 1975
[Ofman2014]: Salomon Ofman, “Comprendre les mathématiques pour comprendre Platon-
Théétète (147d-148b)”, Lato Sensu, I, 2014, p. 70-80
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Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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