Leibniz-infinity morphisms for derived brackets

Infinis morphismes de Leibniz pour les crochets dérivés

Camille Laurent-Gengoux (1) , Mohsen Masmoudi (1)

1 IECL - Institut Élie Cartan de Lorraine

The derived bracket of a Maurer-Cartan element in a differential graded Lie algebra (DGLA) is well-known to define a differential graded Leibniz algebra. It is also well-known that a Lie infinity morphism between DGLAs maps a Maurer-Cartan element to a Maurer-Cartan element. Given a Lie-infinity morphism, a Maurer-element and its image, we show that both derived differential graded Leibniz algebras are related by a Leibniz-infinity morphism, and we construct it explicitely. As an application, we recover a well-known formula of Dominique Manchon about the commutator of the star-product. Mots-clefs : Algèbres de Leibniz, algèbre de Lie-infinies, formalité et quantification.

Il est connu que le crochet dérivé d'un élément de Maurer-Cartan d'une algèbre de Lie différentielle graduée (DGLA) définit une algèbre de Leibniz différentielle graduée. Il est connu aussi que un morphisme de Lie infini entre DGLAs envoie un élément de Maurer-Cartan sur un autre élément de Maurer-Cartan. ´ Etant donnés un morphisme Lie-infini, un élément de Maurer-Cartan et son image, nous construisons entre leurs algèbres de Leibniz différentielles graduées un morphisme de Leibniz infini, et ce de façon totalement explicite. Nous utilisons cette construction pour retrouver une formule de Dominique Manchon à propos du commutateur du produit-étoile.

Mots clés: formality and quantization; Leibniz algebras; Lie-infinity algebras

Domaines: Mathématiques [math]; Géométrie différentielle [math.DG]; Algèbre commutative [math.AC]

Camille Laurent-Gengoux, Mohsen Masmoudi. Infinis morphismes de Leibniz pour les crochets dérivés. 2018. ⟨hal-01829286⟩