Global Strichartz estimates for the Schrödinger equation with non zero boundary conditions and applications
Résumé
We consider the Schrödinger equation on a half space in any dimension with a class of nonhomogeneous boundary conditions including Dirichlet, Neuman and the so-called transparent boundary conditions. Building upon recent local in time Strichartz estimates (for Dirichlet boundary conditions), we obtain global Strichartz estimates for initial data in H s , 0 ¤ s ¤ 2 and boundary data in a natural space H s. For s ¥ 1{2, the issue of compatibility conditions requires a thorough analysis of the H s space. As an application we solve nonlinear Schrödinger equations and construct global asymptotically linear solutions for small data. A discussion is included on the appropriate notion of scattering in this framework, and the optimality of the H s space.
On considère l'´ equation de Schrödinger sur le demi espace en dimension arbitraire pour une classe de conditions au bord non homogènes, incluant les conditions de Dirichlet, Neu-mann, et " transparentes ". Le principal résultat consiste en des estimations de Strichartz globales pour des données initiales H s , 0 ¤ s ¤ 2 et des données au bord dans un espace naturel H s , il améliore les estimées de Strichartz locales en temps obtenues récemment par d'autres auteurs dans le cas des conditions de Dirichlet. Pour s ¥ 1{2, la définition des conditions de compatibilité requiert uné etude précise des espaces H s. En application, on résout deséquationsdeséquations de Schrödinger non linéaires, et on construit des solutions dispersives globales si les données sont petites. On discuté egalement le sens précis donnédonnéà " solution dispersive " , ainsi que la question de l'optimalité de l'espace H s .
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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