Stabilisation of wave equations on the torus with rough dampings
Résumé
For the damped wave equation on a compact manifold with {\em continuous} dampings, the geometric control condition is necessary and sufficient for {uniform} stabilisation. In this article, on the two dimensional torus, in the special case where $a(x) = \sum_{j=1}^N a_j 1_{x\in R_j}$ ($R_j$ are polygons), we give a very simple necessary and sufficient geometric condition for uniform stabilisation. We also propose a natural generalization of the geometric control condition which makes sense for $L^\infty$ dampings. We show that this condition is always necessary for uniform stabilisation (for any compact (smooth) manifold and any $L^\infty$ damping), and we prove that it is sufficient in our particular case on $\mathbb{T}^2$ (and for our particular dampings).
Pour l'\'equation des ondes amortie sur une vari\'et\'e compacte, dans le cas d'un amortissement {\em continu}, la condition de contr\^ole g\'eom\'etrique est n\'ecessaire et suffisante pour la stabilisation uniforme. Dans cet article, sur le tore $\mathbb{T}^2$ et dans le cas o\`u $a(x) = \sum_{j=1}^N a_j 1_{x\in R_j}$ ($R_j$ sont des polygones), nous exhibons une condition g\'eom\'etrique n\'ecessaire et suffisante tr\`es simple. Nous proposons aussi une g\'en\'eralisation naturelle de la condition de contr\^ole g\'eom\'etrique, pour un amortissement seulement $L^\infty$. Cette g\'en\'eralisation est toujours n\'ecessaire pour la stabilisation uniforme (sur toute vari\'et\'e compacte r\'eguli\`ere), et nous d\'emontrons dans cet article qu'elle est suffisante dans notre cas particulier du tore $\mathbb{T}^2$ (et pour nos fonctions d'amortissement particuli\`eres).
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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