On p-rationality of number fields. Applications-PARI/GP programs

Georges Gras (1)

1 LMB - Laboratoire de Mathématiques de Besançon (UMR 6623)

Let K be a number field. We prove that its ray class group modulo p 2 (resp. 8) if p > 2 (resp. p = 2) characterizes its p-rationality. Then we give two short, very fast PARI Programs (§ § 3.1, 3.2) testing if K (defined by an irreducible monic polynomial) is p-rational or not. For quadratic fields we verify some densities related to Cohen-Lenstra-Martinet ones and analyse Greenberg's conjecture on the existence of p-rational fields with Galois groups (Z/2Z) t needed for the construction of some Galois representations with open image. We give examples for p = 3, t = 5 and t = 6 (§ § 5.1, 5.2) and illustrate other approaches (Pitoun-Varescon, Barbulescu-Ray). We conclude about the existence of imaginary quadratic fields, p-rational for all p ≥ 2 (Angelakis-Stevenhagen on the concept of "minimal absolute abelian Galois group") which may enlighten a conjecture of p-rationality (Hajir-Maire) giving large Iwasawa µ-invariants of some uniform prop groups. Résumé Soit K un corps de nombres. Nous montrons que son corps de classes de rayon modulo p 2 (resp. 8) si p > 2 (resp. p = 2) caractérise sa p-rationalité. Puis nous donnons deux courts programmes PARI (§ § 3.1, 3.2) trs rapides testant si K (défini par un polynôme irréductible uni-taire) est p-rationnel ou non. Pour les corps quadratiques nous vérifions certaines densités en relation avec celles de Cohen-Lenstra-Martinet et nous analysons la conjecture de Greenberg sur l'existence de corps p-rationnels de groupes de Galois (Z/2Z) t nécessaires pour la construction de certaines représentations galoisiennes d'image ouverte. Nous donnons des exemples pour p = 3, t = 5 et t = 6 (§ § 5.1, 5.2) et il-lustrons d'autres approches (Pitoun-Varescon, Barbulescu-Ray). Nous concluons sur l'existence de corps quadratiques imaginaires p-rationnels pour tout p ≥ 2 (Angelakis-Stevenhagen sur le concept de "groupe de Galois abélien absolu minimal") qui peutéclairerpeutéclairer une conjecture de p-rationalité (Hajir-Maire) donnant de grands invariants µ d'Iwasawa relatifs à certains prop -groupes uniformes.

Mots clés: p-rationality; p-adic regulator; class field theory; abelian p-ramification; PARI/GP programs

Domaines: Théorie des nombres [math.NT]

Georges Gras. On p-rationality of number fields. Applications-PARI/GP programs: (programs to test the p-rationality of any number field). 2017. ⟨hal-01590183v2⟩