Nonlocal p-Laplacian evolution problems on graphs

Yosra Hafiene (1) , Jalal M. Fadili (1) , Abderrahim Elmoataz (1)

1 Equipe Image - Laboratoire GREYC - UMR6072

L' équation d'évolution du p-Laplacien non-local, gou-vernée par un noyau donné, a de très nombreuses applications pour modéliser les phénomènes de diffusion, notam-ment en traitement du signal et des images sur graphes. En pratique, cette équation d'évolution est implémenté sous une forme discrète (en temps et en espace) comme une approximation numérique du problème continu, où le noyau est remplacé par la matrice d'adjacence d'un graphe. La question naturelle est alors d'étudier la structure des solutions du problème discret et d'en établir la limite continue. C'est l'objectif poursuivi dans ce travail. En combinant des outils issus de la théorie des graphes et des équations d'évolution non-linéaires, nous donnons une interprétation rigoureuse à la limite continue du probléme du p-Laplacien discret sur graphes. Plus spécifiquement, nous considérons une suite de graphes déterministes, pondérés dont l'objet limite est appelé graphon. L'équation d'évolution du p-Laplacien est alors discrétisée en temps et en espace sur cette suite de graphes. Ainsi, nous prouvons la convergence des solutions de la suite des problèmes discrétisés vers la solution du problème d'évolution continu gouverné par le graphon lorsque le nombre des noeuds du graphe tend vers l'infini. Ce faisant, nous exhibons le vitesse de convergence correspondante. Mots Clef Diffusion nonlocale; p-Laplacien; limites de graphes; approximation numérique. Abstract The non-local p-Laplacian evolution equation, governed by given kernel, has various applications to model diffusion phenomena, in particular in signal and image processing. In practice, such an evolution equation is implemented in discrete form (in space and time) as a numerical approximation to a continuous problem, where the kernel is replaced by an adjacency matrix of graph. The natural question that arises is to understand the structure of solutions to the discrete problem, and study their continuous limit. This is the goal pursued in this work. Combining tools from graph theory and non-linear evolution equations , we give a rigorous interpretation to the continuous limit of the discrete p-Laplacian on graphs. More specifically , we consider a sequence of deterministic weighted graphs converging to a so-called graphon. The continuous p-Laplacian evolution equation is then discretized on this graph sequence both in space and time. We therefore prove that the solutions of the sequence of discrete problems converge to the solution of the continuous evolution problem governed by the graphon, when the number of graph ver-tices grows to infinity. We exhibit the corresponding convergence rate.

Mots clés: Nonlocal diffusion; p-Laplacian; graphs; graph limits; nu- merical approximation

Domaines: Mathématiques [math]

Yosra Hafiene, Jalal M. Fadili, Abderrahim Elmoataz. Nonlocal p-Laplacian evolution problems on graphs. ORASIS, Jun 2017, Colleville sur mer, France. ⟨hal-01589689⟩