On the affine random walk on the torus
Résumé
Let $\mu$ be a borelian probability measure on $\mathbf{G}:=\mathrm{SL}_d(\mathbb{Z}) \ltimes \mathbb{T}^d$. Define, for $x\in \mathbb{T}^d$, a random walk starting at $x$ denoting for $n\in \mathbb{N}$,
\[
\left\{\begin{array}{rcl}
X_0 &=&x\\
X_{n+1} &=& a_{n+1} X_n + b_{n+1}
\end{array}\right.
\]
where $((a_n,b_n))\in \mathbf{G}^\mathbb{N}$ is an iid sequence of law $\mu$.
Then, we denote by $\mathbb{P}_x$ the measure on $(\mathbb{T}^d)^\mathbb{N}$ that is the image of $\mu^{\otimes \mathbb{N}}$ by the map $\left((g_n) \mapsto (x,g_1 x, g_2 g_1 x, \dots , g_n \dots g_1 x, \dots)\right)$ and for any $\varphi \in \mathrm{L}^1((\mathbb{T}^d)^\mathbb{N}, \mathbb{P}_x)$, we set $\mathbb{E}_x \varphi((X_n)) = \int \varphi((X_n)) \mathrm{d}\mathbb{P}_x((X_n))$.
Bourgain, Furmann, Lindenstrauss and Mozes studied this random walk when $\mu$ is concentrated on $\mathrm{SL}_d(\mathbb{Z}) \ltimes\{0\}$ and this allowed us to study, for any hölder-continuous function $f$ on the torus, the sequence $(f(X_n))$ when $x$ is not too well approximable by rational points.
In this article, we are interested in the case where $\mu$ is not concentrated on $\mathrm{SL}_d(\mathbb{Z}) \ltimes \mathbb{Q}^d/\mathbb{Z}^d$ and we prove that, under assumptions on the group spanned by the support of $\mu$, the Lebesgue's measure $\nu$ on the torus is the only stationary probability measure and that for any hölder-continuous function $f$ on the torus, $\mathbb{E}_x f(X_n)$ converges exponentially fast to $\int f\mathrm{d}\nu$.
Then, we use this to prove the law of large numbers, a non-concentration inequality, the functional central limit theorem and it's almost-sure version for the sequence $(f(X_n))$.
In the appendix, we state a non-concentration inequality for products of random matrices without any irreducibility assumption.
Soit $\mu$ une mesure borélienne de probabilité sur $\mathbf{G}:=\mathrm{SL}_d(\mathbb{Z}) \ltimes \mathbb{T}^d$. Nous définissons, pour $x\in \mathbb{T}^d$, une marche aléatoire partant de $x$ en notant, pour $n\in \mathbb{N}$,
\[
\left\{\begin{array}{rcl}
X_0 &=&x\\
X_{n+1} &=& a_{n+1} X_n + b_{n+1}
\end{array}\right.
\]
où $((a_n,b_n))\in \mathbf{G}^\mathbb{N}$ est une suite iid de loi $\mu$. Nous notons alors $\mathbb{P}_x$ la mesure sur $(\mathbb{T}^d)^\mathbb{N}$ image de $\mu^{\otimes \mathbb{N}}$ et définie par l'application $(g_n) \mapsto (x,g_1 x, g_2 g_1 x, \dots , g_n \dots g_1 x, \dots)$ et pour toute fonction $\varphi \in \mathrm{L}^1((\mathbb{T}^d)^\mathbb{N}, \mathbb{P}_x)$, on note $\mathbb{E}_x \varphi((X_n)) = \int \varphi((X_n)) \mathrm{d}\mathbb{P}_x((X_n))$.
Bourgain, Furmann, Lindenstrauss et Mozes ont étudié cette marche aléatoire dans le cas où $\mu$ est concentrée sur $\mathrm{SL}_d(\mathbb{Z}) \ltimes\{0\}$ et cela nous a permis d'étudier dans ce cas, pour une fonction hölderienne $f$ sur le tore, la suite $(f(X_n))$ lorsque $x$ n'est pas trop bien approchés par des rationnels.
Dans cet article, nous nous intéressons au cas où $\mu$ n'est pas concentrée sur $\mathrm{SL}_d(\mathbb{Z}) \ltimes \mathbb{Q}^d/\mathbb{Z}^d$ et nous montrons que, sous des hypothèses sur le sous-groupe engendré par le support de $\mu$, la mesure de Lebesgue $\nu$ sur le tore est l'unique mesure stationnaire et que pour toute fonction hölderienne $f$ sur le tore, $\mathbb{E}_x f(X_n)$ converge exponentiellement vite vers $\int f\mathrm{d}\nu$.
Cela nous permet alors de démontrer la loi des grands nombres, une inégalité de non concentration, le théorème central limite fonctionnel et sa version presque-sûre pour la suite $(f(X_n))$.
En annexe, nous énonçons une inégalité de non-concentration pour les produits de matrices aléatoires sans hypothèse d'irréductibilité.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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