Small energy traveling waves for the Euler-Korteweg system

Corentin Audiard (1)

1 LJLL - Laboratoire Jacques-Louis Lions

We investigate the existence and properties of traveling waves for the Euler-Korteweg system with general capillarity and pressure. Our main result is the existence in dimension two of waves with arbitrarily small energy. They are obtained as minimizers of a modified energy with fixed momentum. The proof builds upon various ideas developed for the Gross-Pitaevskii equation (and more generally nonlinear Schrödinger equations with non zero limit at infinity). Even in the Schrödinger case, the fact that we work with the hydrodynamical variables and a general pressure law both brings new difficulties and some simplifications. Independently, in dimension one we prove that the criterion for the linear instability of traveling waves from [6] actually implies nonlinear instability.

On étudie les ondes progressives des équations d'Euler-Korteweg pour des lois de capillarité et pression générales. Le principal résultat est l'existence en dimension 2 d'ondes d'énergie arbitrairement petite. Elles sont obtenues comme minimiseurs d'une énergie modifiée a moment fixé. La preuve suit plusieurs idées développées pour les équations de Schrödinger non linéaires avec limite non nulle à l'infini. Même dans ces cas, le fait de travailler en variables hydrodynamiques apporte de nouvelles difficultés, mais aussi quelques simplifications. Indépendamment, on montre en dimension un que le critère d'instabilité linéaire des ondes progressives de [6] implique en fait l'instabilité non linéaire.

Domaines: Equations aux dérivées partielles [math.AP]

Corentin Audiard. Small energy traveling waves for the Euler-Korteweg system. Nonlinearity, 2017. ⟨hal-01431647⟩