Méthode multipôle rapide pour les équations intégrales de frontière en élastodynamique 3D. Application à la propagation d’ondes sismiques

Stéphanie Chaillat (1)

1 LMS - Laboratoire de mécanique des solides

La propagation des ondes sismiques peut être simulée à l'aide de différentes méthodes numériques. La méthode des éléments de frontière (BEM, pour Boundary Element Method) présente l'avantage de ne nécessiter que la discrétisation de la frontière du domaine de calcul considéré et permet de simuler des milieux étendus en évitant la forte dispersion numérique associée à d'autres schémas. Les solveurs adaptés à ce type de problèmes sont de deux types : (i) les solveurs directs, de complexité $O(N^3)$ en temps et $O(N^2)$ en mémoire ($N$ étant le nombre de degrés de liberté), et donc inutilisables dès que $N$ devient grand, et (ii) les solveurs itératifs, construisant une suite convergeant vers la solution, de complexité $O(n_\text{iter} \times N^2)$ en temps et en mémoire. Le principal inconvénient de la BEM, sous sa forme traditionnelle, est de conduire à un système linéaire dont la matrice est pleine (et non symétrique). Cela crée des difficultés sérieuses à partir de $O(10^4)$ degrés de liberté (DDLs) inconnus, et en particulier limite fortement (en termes de géométrie, hétérogénéité, longueur d'onde...) les configurations accessibles à la méthode. L'idée est alors d'appliquer une méthode d'accélération de l'évaluation des opérateurs intégraux, étape essentielle du calcul d'un produit matrice-vecteur utilisé par le solveur itératif (GMRES dans notre cas) afin de diminuer le temps CPU d'une itération mais aussi les besoins en stockage. Cette réorganisation du calcul est rendue possible par la méthode multipôle rapide (Fast Multipole Method ou FMM en anglais). Initialement développée pour les problèmes à $N$ corps par Rokhlin et Greengard [4] dans les années 80, la méthode a ensuite été adaptée aux équations de l'électromagnétisme par Rokhlin [6] et Chew [8]. La FMM est appliquée dans de nombreux domaines [5].

Domaines: Mécanique [physics.med-ph]

Stéphanie Chaillat. Méthode multipôle rapide pour les équations intégrales de frontière en élastodynamique 3D. Application à la propagation d’ondes sismiques. 9e colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2009, Giens, France. ⟨hal-01419934⟩