Conditions for the whole of Beurling had a density

Conditions pour que les entiers de Beurling aient une densité

Jean-Pierre Kahane (1)

1 LMO - Laboratoire de Mathématiques d'Orsay

In 1997 H.G.Diamond gave a condition on Beurling’s generalized prime numbers in order that the corresponding generalized integers have a density. We give a new proof of this condition (Theorem 1) and a proof that it is not necessary (Theorem 2 and Examples). However, it is very near to be necessary (Theorem 3). Both proofs of Theorems 1 and 2 rely on Fourier analysis, mainly the Wiener algebra, and partly on probability methods.

En 1977 H.G.Diamond donna une condition portant sur les nombres premiers généralisés de Beurling qui entraîne que les entiers cor-respondants aient une densité. Nous donnons une nouvelle preuve que cette condition est susante (Théorème 1) et nous montrons qu'elle n'est pas né-cessaire (Théorème 2 et Exemples), mais qu'elle est néanmoins très près d'être nécessaire et susante (Théorème 3). Les preuves des Théorèmes 1 et 2 reposent sur l'analyse de Fourier. Abstract : In 1977 H.G.Diamond gave a condition on Beurling's generalized prime numbers in order that the corresponding generalized integers have a density. We give a new proof of this condition (Théorème 1) and a proof that it is not necessary (Théorème 2 and Examples). However, it is very near to be necessary (Théorème 3). Both proofs of Theorems 1 and 2 rely on Fourier analysis.

Mots clés: Wiener algebra; Fournier methods in Number theory; Diamond; Generalized prime integers; Beurling

Domaines: Théorie des nombres [math.NT]

Jean-Pierre Kahane. Conditions pour que les entiers de Beurling aient une densité. 2016. ⟨hal-01393875⟩