LA CONJECTURE DU FACTEUR DIRECT

Yves André (1)

1 CNRS - Centre National de la Recherche Scientifique

ABSTRACT. M. Hochster conjectured that any finite extension of a regular commutative ring splits as a module. Building on his reduction to the case of an unramified complete regular local ring R of mixed characteristic, we propose a proof in the framework of P. Scholze's perfectoid theory. The main ingredients are the perfectoid " Abhyankar lemma" and an analysis of Kummer extensions of R by a thickening technique.

RÉSUMÉ. M. Hochster a conjecturé que pour toute extension finie S d'un anneau com-mutatif régulier R, la suite exacte de R-modules 0 → R → S → S/R → 0 est scindée. En nous appuyant sur sa réduction au cas d'un anneau local régulier R complet non rami-fié d'inégale caractéristique, nous proposons une démonstration de cette conjecture dans le contexte de la théorie perfectoïde de P. Scholze. Les deux ingrédients-clé sont le « lemme d'Abhyankar » perfectoïde et l'analyse des extensions kummériennes de R par une technique d'épaississement sur des voisinages tubulaires.

Mots clés: Direct summand conjecture; big Cohen-Macaulay algebra; perfectoid algebra; purity

Domaines: Géométrie algébrique [math.AG]; Théorie des nombres [math.NT]; Algèbre commutative [math.AC]

Yves André. LA CONJECTURE DU FACTEUR DIRECT. 2016. ⟨hal-01357338⟩