The $(m, n)$-rational $q, t$-Catalan polynomials for $m=3$ and their $q, t$-symmetry

Ryan Kaliszewski (1) , Huilan Li (1)

1 Department of mathematics [Philadelphie]

We introduce a new statistic, skip, on rational $(3,n)$-Dyck paths and define a marked rank word for each path when $n$ is not a multiple of 3. If a triple of valid statistics (area; skip; dinv) are given, we have an algorithm to construct the marked rank word corresponding to the triple. By considering all valid triples we give an explicit formula for the $(m,n)$-rational $q; t$-Catalan polynomials when $m=3$. Then there is a natural bijection on the triples of statistics (area; skip; dinv) which exchanges the statistics area and dinv while fixing the skip. Thus we prove the $q; t$-symmetry of $(m,n)$-rational $q; t$-Catalan polynomials for $m=3$. .

Nous introduisons une nouvelle statistique, le skip, sur les chemins de $(3,n)$-Dyck rationnels et définissons le mot de rang marqué pour chaque chemin quand $n$ n’est pas un multiple de 3. Si un triplet valide de statistiques (aire, skip, dinv) est donné, nous avons un algorithme pour construire le mot de rang marqué correspondant au triplet. En considérant tous les triplets valides, nous donnons une formule explicite pour les polynômes de $q; t$-Catalan $(m,n)$- rationnels quand $m=3$. Enfin, il existe une bijection naturelle sur les triplets de statistiques (aire, skip, dinv) qui échange les statistiques aires et dinv en conservant le skip. Ainsi, nous prouvons la $q; t$-symétrie des polynômes de $q; t$-Catalan $(m,n)$-rationnels pour $m=3$. .

Mots clés: Dyck path; Catalan number; rank word

Domaines: Mathématique discrète [cs.DM]

Ryan Kaliszewski, Huilan Li. The $(m, n)$-rational $q, t$-Catalan polynomials for $m=3$ and their $q, t$-symmetry. 27th International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC 2015), Jul 2015, Daejeon, South Korea. pp.769-780, ⟨10.46298/dmtcs.2500⟩. ⟨hal-01337775⟩