ASYMPTOTIC OF THE DISTRIBUTION AND HARMONIC MOMENTS FOR A SUPERCRITICAL BRANCHING PROCESS IN A RANDOM ENVIRONMENT

Ion Grama (1) , Quansheng Liu (1) , Eric Miqueu (1)

1 LMBA - Laboratoire de Mathématiques de Bretagne Atlantique

Let (Z n) be a supercritical branching process in an independent and identically distributed random environment ξ. We show the exact decay rate of the probability P(Z n = j|Z 0 = k) as n → ∞, for each j k, assuming that P(Z 1 = 0) = 0. We also determine the critical value for the existence of harmonic moments of the random variable W = lim n→∞ Zn E(Zn|ξ) under a simple moment condition. Résumé. Soit (Z n) un processus de branchement surcritique en environnement aléatoire ξ indépendant et identiquement distribué. Nous donnons un équivalent de la probabilité P(Z n = j|Z 0 = k) lorsque n → ∞, pour tout j k, sous la condition P(Z 1 = 0) = 0. Nous déterminons également la valeur critique pour l'existence des moments harmoniques de la variable aléatoire limite W = lim n→∞ Zn E(Zn|ξ) , sous une hypothèse simple d'existence de moments.

Mots clés: Branching processes; random environment; harmonic moments; asymptotic distribution; decay rate

Domaines: Probabilités [math.PR]

Ion Grama, Quansheng Liu, Eric Miqueu. ASYMPTOTIC OF THE DISTRIBUTION AND HARMONIC MOMENTS FOR A SUPERCRITICAL BRANCHING PROCESS IN A RANDOM ENVIRONMENT. 2016. ⟨hal-01330846⟩