Hyperbolic components of McMullen maps

Composantes hyperboliques des fractions de McMullen

Weiyuan Qiu (1) , Pascale Roesch (2) , Xiaoguang Wang (3) , Yongcheng Yin (3)

1 School of Mathematical Sciences [Fudan]
2 I2M - Institut de Mathématiques de Marseille
3 Zhejiang University

In this article, we study the hyperbolic components of McMullen maps. We show that the boundaries of all hyperbolic components are Jordan curves. This settles a problem posed by Devaney. As a consequence, we show that cusps are dense on the boundary of the unbounded hyperbolic component. This is a dynamical analogue of McMullen's theorem that cusps are dense on the Bers' boundary of Teichm\"uller space.

Dans cet article nous résolvons complètement une question posée par B. Devaney. Nous montrons que toutes les composantes hyperboliques sont des domaines de Jordan dans la famille de fractions rationnelles de type McMullen. De plus nous donnons une description précise de toutes les fractions du bord de la composante non bornée. Il en découle que les cusps sont denses dans le bord de la composante non bornée.

Mots clés: parameter plane; McMullen map; hyperbolic component; Jordan curve

Mots clés: plan de paramètres; application de McMullen; composante hyperbolique; courbe de Jordan

Domaines: Systèmes dynamiques [math.DS]; Variables complexes [math.CV]

Weiyuan Qiu, Pascale Roesch, Xiaoguang Wang, Yongcheng Yin. Hyperbolic components of McMullen maps. Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 2015, 48 (3), pp.703-737. ⟨hal-01312943⟩