Enumeration of Cylindric Plane Partitions

Robin Langer (1)

1 LIAFA - Laboratoire d'informatique Algorithmique : Fondements et Applications

Cylindric plane partitions may be thought of as a natural generalization of reverse plane partitions. A generating series for the enumeration of cylindric plane partitions was recently given by Borodin. As in the reverse plane partition case, the right hand side of this identity admits a simple factorization form in terms of the "hook lengths'' of the individual boxes in the underlying shape. The first result of this paper is a new bijective proof of Borodin's identity which makes use of Fomin's growth diagram framework for generalized RSK correspondences. The second result of this paper is a $(q,t)$-analog of Borodin's identity which extends previous work by Okada in the reverse plane partition case. The third result of this paper is an explicit combinatorial interpretation of the Macdonald weight occurring in the $(q,t)$-analog in terms of the non-intersecting lattice path model for cylindric plane partitions.

Les partitions planes cylindriques sont une généralisation naturelle des partitions planes renversées. Une série génératrice pour énumération des partitions planes cylindriques a été donnée récemment par Borodin. Comme dans le cas des partitions planes renversées, la partie droite de cette identité peut être factoriser en terme de "longueur d’équerres'' des carrés dans la forme sous-jacente. Le premier résultat de cet article est une nouvelle preuve bijective de l'identité de Borodin qui utilise le cadre de "diagramme de croissance'' de Fomin pour la correspondance de RSK généralisée. Le deuxième résultat de cette article est une $(q,t)$-déformation d'identité de Borodin qui généralise un résultat de Okada dans le cas des partitions planes renversées. Le troisième résultat de cet article est une formule combinatoire explicite pour le poids de Macdonald qui utilise le modèle des chemins non-intersectant pour les partitions planes cylindriques.

Mots clés: cylindric plane partitions; Macdonald polynomials; Pieri rule; vertex operators; non-intersecting lattice paths; growth diagrams; local rules; generalized RSK correspondences.

Domaines: Mathématique discrète [cs.DM]

Robin Langer. Enumeration of Cylindric Plane Partitions. 24th International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC 2012), 2012, Nagoya, Japan. pp.793-804, ⟨10.46298/dmtcs.3083⟩. ⟨hal-01283128⟩