Simultaneous distribution of S (n) and S(n+1) in arithmetic progressions
Répartition simultanée de S(n) et S(n+1) dans les progressions arithmétiques
Résumé
If q≥2 is an integer, we denote by Sq(n) the sum of the digits in base q of the positive integer n and by vq(n) its q-adic valuation. The goal of this work is to study exponential sums of the form ∑n≤xexp(2iπ(lmSq(n)+km′Sq(n+1)+θn)) in order to prove some statistical properties of integers n for which Sq(n) and Sq(n+1) belong to given arithmetic progressions. This extends the results obtained by Gelfond in 1968 and those obtained by Mauduit–Sárközy in 1996.
Si q≥2 est un nombre entier, on désigne par Sq(n) la somme des chiffres en base q du nombre entier naturel n et par vq(n) sa valuation q-adique. L’objectif de cet article est d’étudier des sommes d’exponentielles de la forme ∑n≤xexp(2iπ(lmSq(n)+km′Sq(n+1)+θn)) afin d’en déduire certaines propriétés statistiques des nombres entiers n pour lesquels Sq(n) et Sq(n+1) appartiennent à des progressions arithmétiques données. Ceci permet d’étendre les résultats obtenus par Gelfond en 1968 et ceux obtenus par Mauduit-Sárközy en 1996.