KAM FOR THE NONLINEAR WAVE EQUATION

KAM POUR L' ÉQUATION DES ONDES NON LINÉAIRE SUR LE CERCLE

Moudhaffar Bouthelja (1)

1 LMJL - Laboratoire de Mathématiques Jean Leray

Dans cet article on considère l'équation des ondes sur le cercle donnée par : \begin{equation} \nonumber u_{tt} - u_{xx} + m u = g(x,u), \quad t \in \mathbb{R},\: x \in \mathbb{T}, \end{equation} avec $m \in [1,2]$ une masse et $g(x,u)=4u^3+ O(u^4)$. Cette équation va être traitée comme une perturbation d'un hamiltonien intégrable donné par: \begin{equation} \tag{$\ast$} \label{first equation} u_t= v, \quad v_t = - u_{xx} + m u. \end{equation} Proche de l'origine, on prouve l'existence de solutions quasi-périodiques de faible amplitude, proches de la solution de l'équation linéaire \eqref{first equation}. La preuve fait appel à un résultat KAM en dimension infinie démontré dans la première partie de cet article, Un résultat de forme normale.

Mots clés: KAM theory; Nonlinear wave equation; Birkhoff normal form; Hamiltonian PDEs

Domaines: Equations aux dérivées partielles [math.AP]; Systèmes dynamiques [math.DS]

Moudhaffar Bouthelja. KAM POUR L' ÉQUATION DES ONDES NON LINÉAIRE SUR LE CERCLE. 2016. ⟨hal-01249664⟩