Méthodes numériques et optimisation, un guide du consommateur

Eric Walter (1)

1 L2S - Laboratoire des signaux et systèmes

Les cours du lycée nous ont conduits à voir la résolution de problèmes en physique et en chimie comme l'élaboration de solutions formelles explicites en fonction de paramètres inconnus puis l'utilisation de ces solutions dans des applications numériques pour des valeurs numériques spécifiques de ces paramètres. Cette démarche limitait la classe des problèmes solubles à un ensemble très limité de problèmes suffisamment simples pour qu'une telle solution explicite existe. Malheureusement, la plupart des problèmes réels en sciences pures et appliquées ne peuvent bénéficier d'une telle solution mathématique explicite. On est donc conduit à remplacer le calcul exact de celle-ci par une évaluation numérique approchée. Ceci est particulièrement évident en ingénierie, où la conception assistée par ordinateur sur la base de simulations numériques est la règle. Ce livre porte sur le calcul numérique sur ordinateur, et ne dit presque rien du calcul formel sur ordinateur, bien qu'ils se complètent utilement. L'utilisation d'approximations à virgule flottante pour les nombres réels a pour conséquence que des opérations approximatives sont effectuées sur des nombres approximatifs. Pour se protéger contre le risque de désastre numérique, on doit alors choisir des méthodes qui rendent les erreurs finales aussi petites que possible. Il se trouve que nombre des méthodes de résolution des problèmes mathématiques élémentaires apprises au lycée ou dans les premières années des études supérieures conviennent mal au calcul à virgule flottante et doivent donc être abandonnées. Remplaçant le calcul exact par une évaluation numérique approchée, nous tenterons de - découvrir comment échapper à la dictature de cas particuliers suffisamment simples pour recevoir une solution analytique explicite, et gagner ainsi le pouvoir de résoudre des problèmes complexes posés par de vraies applications, - comprendre les principes à la base de méthodes reconnues et utilisées dans des logiciels numériques à l'état de l'art, - apprendre les avantages et les limites de ces méthodes, pour pouvoir choisir à bon escient les briques pré-existantes à assembler pour résoudre un problème donné. La présentation est à un niveau introductif, bien loin du niveau de détails requis pour implémenter ces méthodes de façon efficace. Notre but principal est d'aider le lecteur à devenir un meilleur consommateur de méthodes numériques, capable de faire son choix parmi celles qui sont disponibles pour une tâche donnée, comprenant ce qu'elles peuvent et ne peuvent pas faire et outillé pour conduire une évaluation critique de la validité de leurs résultats.

Mots clés: intégration; interpolation; équations différentielles; simulation; algorithmes; méthodes numériques; optimisation; différentiation; approximation; systèmes linéaires; systèmes non linéaires

Domaines: Analyse numérique [cs.NA]; Ingénierie assistée par ordinateur; Modélisation et simulation; Optimisation et contrôle [math.OC]

Eric Walter. Méthodes numériques et optimisation, un guide du consommateur. 2015. ⟨hal-01238558⟩