Denominator vectors and compatibility degrees in cluster algebras of finite type

Cesar Ceballos (1) , Vincent Pilaud (2)

1 Department of Mathematics and Statistics [Toronto]
2 LIX - Laboratoire d'informatique de l'École polytechnique [Palaiseau]

We present two simple descriptions of the denominator vectors of the cluster variables of a cluster algebra of finite type, with respect to any initial cluster seed: one in terms of the compatibility degrees between almost positive roots defined by S. Fomin and A. Zelevinsky, and the other in terms of the root function of a certain subword complex. These descriptions only rely on linear algebra, and provide simple proofs of the known fact that the $d$-vector of any non-initial cluster variable with respect to any initial cluster seed has non-negative entries and is different from zero.

Nous présentons deux descriptions élémentaires des vecteurs dénominateurs des algèbres amassées de type fini pour tout amas initial: l'une en termes de degrés de compatibilitié entre racines presque positives définis par S. Fomin et A. Zelevinsky, et l'autre en termes de la fonction racine d'un certain complexe de sous-mots. Ces descriptions ne reposent que sur l'algèbre linéaire et fournissent des preuves simples du fait (connu) que le $d$-vecteur de toute variable d'amas, qui n'est pas dans l'amas initial, a des entrées positives ou nulles et est différent du vecteur nul.

Mots clés: Finite type cluster algebras; d-vectors; subword complexes.

Domaines: Mathématique discrète [cs.DM]

Cesar Ceballos, Vincent Pilaud. Denominator vectors and compatibility degrees in cluster algebras of finite type. 25th International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC 2013), 2013, Paris, France. pp.85-96. ⟨hal-01229727⟩