An obstruction to small time local null controllability for a viscous Burgers' equation

Résumé : Nous nous intéressons à la contrôlabilité locale en temps petit pour l'équation de Burgers visqueuse $y_t - y_{xx} + y y_x = u(t)$, posée sur le segment $[0,1]$, avec des conditions de Dirichlet nulles au bord. Le terme source au second membre est un contrôle scalaire qui joue un rôle similaire à celui d'une pression. Dans ce contexte, la condition nécessaire classique introduite par Sussmann impliquant le crochet de Lie dit $[f_1, [f_1, f_0]]$ ne permet pas de conclure. Cependant, en utilisant un développement à l'ordre deux du système étudié, nous mettons en lumière une obstruction de nature quadratique à la contrôlabilité locale en temps petit. Cette obstruction tient alors même que la vitesse de propagation de l'information dans cette équation de Burgers est infinie. Elle fait intervenir la norme faible $H^{-5/4}$ du contrôle $u$. La démonstration nécessite le calcul soigneux du noyau d'un opérateur intégral, ainsi que l'estimation d'opérateurs résiduels à l'aide de la théorie de régularité pour les opérateurs intégraux faiblement singuliers.
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Contributeur : Frédéric Marbach <>
Soumis le : lundi 16 novembre 2015 - 16:48:36
Dernière modification le : mercredi 21 mars 2018 - 18:56:47
Document(s) archivé(s) le : mercredi 17 février 2016 - 17:50:34

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  • HAL Id : hal-01229493, version 1
  • ARXIV : 1511.04995

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Frédéric Marbach. An obstruction to small time local null controllability for a viscous Burgers' equation. 2015. 〈hal-01229493〉

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