On the $L^{r}$ Hodge theory in complete non compact riemannian manifolds.

Eric Amar (1)

1 IMB - Institut de Mathématiques de Bordeaux

We study solutions for the Hodge laplace equation $\Delta u=\omega $ on $p$ forms with $\displaystyle L^{r}$ estimates for $\displaystyle r>1.$ Our main hypothesis is that $\Delta $ has a spectral gap in $\displaystyle L^{2}.$ We use this to get {\sl non classical} $\displaystyle L^{r}$ Hodge decomposition theorems. An interesting feature is that to prove these decompositions we never use the boundedness of the Riesz transforms in $\displaystyle L^{s}.$\ \par These results are based on a generalisation of the Raising Steps Method to complete non compact riemannian manifolds.

On étudie les solutions de l'équation de Hodge Laplace ∆u = ω sur les p formes avec des estimées L r pour r>1. Notre hypothèse principale est que ∆ a un trou spectral dans L 2. On utilise cela pour obtenir des décompositions de Hodge dans L r. Un point intéressant est que nous n'utilisons pas le fait que les transformées de Riesz soient bornées. Ces résultats sont basés sur une généralisation de la Méthode des Marches Ascendantes au cas des variétés riemannienne complètes non compactes.

Mots clés: Hodge laplace equation; complete non compact riemannian manifold

Domaines: Géométrie différentielle [math.DG]

Eric Amar. On the $L^{r}$ Hodge theory in complete non compact riemannian manifolds.. 2016. ⟨hal-01168927v2⟩