A short proof of unique ergodicity of horospherical foliations on infinite volume hyperbolic manifolds

Barbara Schapira (1, 2)

1 LAMFA - Laboratoire Amiénois de Mathématique Fondamentale et Appliquée
2 IRMAR - Institut de Recherche Mathématique de Rennes

We give a short proof of the unique ergodicity of the strong stable foliation of the geodesic flow on the frame bundle of a hyperbolic manifold admitting a finite measure of maximal entropy. Equivalently, let G = S0o(n, 1), Γ < G be a discrete subgroup of G, and G = N AK the Iwasawa decomposition of G. If the geodesic flow on Γ\G admits a finite measure of maximal entropy, we prove that the action of N on Γ\G by right multiplication admits a unique invariant measure supported on points whose A-orbit does not diverge.

Nous donnons une preuve courte de l'unique ergodicité du feuilletage fortement stable du flot géodésique sur le fibré des repères d'une variété hyperbolique admettant une mesure finie d'entropie maximale. De manière équivalente, soit G = S0o(n, 1), Γ < G un sous-groupe discret, et G=NAK la décomposition d'Iwasawa de G . Si le flot géodésique de Γ\G admet une mesure finie d'entropie maximale, nous démontrons que l'action de N sur Γ\G par multiplication à droite admet une unique mesure invariante supportée par les points dont la A-orbite ne diverge pas.

Mots clés: geodesic flow; homogeneous spaces; unique ergodicity; strong stable foliation

Domaines: Systèmes dynamiques [math.DS]

Barbara Schapira. A short proof of unique ergodicity of horospherical foliations on infinite volume hyperbolic manifolds. Confluentes Mathematici, 2016, 8 (1), pp.165-174. ⟨10.5802/cml.29⟩. ⟨hal-01144393⟩