On the boundary value problem for the Schrödinger equation: compatibility conditions and global existence

Corentin Audiard (1)

1 LJLL - Laboratoire Jacques-Louis Lions

We consider linear and nonlinear Schrödinger equations on a domain Ω with non zero Dirichlet boundary conditions and initial data. In a first part we study the linear boundary value problem with boundary data of optimal regularity (in anisotropic Sobolev spaces) with respect to the initial data. We prove well-posedness under natural compatibility conditions. This is essential for the second part where we prove the existence and uniqueness of maximal solutions for nonlinear Schr\"odinger equations. Despite the non conservation of energy, we also obtain global existence in several defocusing) cases.

On étudie des équations de Schrödinger linéaires et non linéaires sur un domaine Ω avec donnée initiale et condition au bord de Dirichlet non nulles. Dans une première partie on étudie le problème linéaire pour des données au bord dans des espaces de Sobolev anisotropes de régularité optimale par rapport aux données de Cauchy. On démontre la nature bien posée du problème avec les conditions de compatibilité naturelle à tout ordre de régularité. Ces résultats sont essentiels pour établir des résultats de type Cauchy-Lipschitz pour le problème non linéaire, ceux ci font l'objet de la deuxième partie. Malgré la non conservation de l'énergie, on obtient des solutions globales en dimension2.

Mots clés: NLS; boundary value problems; trace regularity; well-posedness

Domaines: Equations aux dérivées partielles [math.AP]

Corentin Audiard. On the boundary value problem for the Schrödinger equation: compatibility conditions and global existence. Analysis & PDE, 2015, 8 (5), pp.1113-1143. ⟨10.2140/apde.2015.8.1113⟩. ⟨hal-01104138⟩