A spectral expression for a certain orbital integral

Une expression spectrale pour une certaine intégrale orbitale

Joël Cohen (1)

1 I2M - Institut de Mathématiques de Marseille

Let F be a p-adic field, G=GL2n(F) and θ be the exterior automorphism of G that preserves a fixed pinning of a Borel pair. Consider the twisted space G˜=Gθ on which G acts by conjugacy and the orbital integral J(θ,f) at θ. We prove a Plancherel-Harish-Chandra type formula for this orbital integral, namely as an integral over the irreducible tempered auto-dual representations of G that we call "symplectic" (meaning their Langlands parameter factors through Sp(2n,ℂ)). This solves a problem raised by G. Chenevier and L. Clozel. Our method uses the endoscopic transfer to SO(2n+1). Along the way, we also prove that the Plancherel measure is constant on L-packets.

Soit F un corps p-adique, G=GL2n(F) et θ l'automorphisme extérieur de G qui preserve une paire de Borel épinglée fixée. On considère l'espace tordu G˜=Gθ sur lequel G agit par conjugaison et l'intégrale orbitale J(θ,f) en θ. On prove une formule de type Plancherel-Harish-Chandra pour cette intégrale orbitale en tant qu'intégrale sur les représentations irréductibles tempérées auto-duales de G que l'on appelle "symplectiques" (au sens où leur paramètre de Langlands se factorise à travers Sp(2n,ℂ)). Ce résultat répond à un problème posé par G. Chenevier et L. Clozel. Notre méthode repose sur le transfert endoscopique tordu de G˜ vers SO(2n+1, F). Chemin faisant, on prouve également que la mesure de Plancherel est constante sur les L-paquets.

Mots clés: Representation Theory; Harmonic Analysis; Reductive Groups; Twisted Endoscopy

Domaines: Théorie des représentations [math.RT]

Joël Cohen. A spectral expression for a certain orbital integral. 2014. ⟨hal-01083579⟩