COHOMOLOGIE DES VARIÉTÉS DE MODULES DE HAUTEUR NULLE

Jean-Marc Drézet (1)

1 IMJ - Institut de Mathématiques de Jussieu

Soient r, c1, c2 des entiers, avec r ≥ 1, M(r,c_1,c_2) la variété de modules des faisceaux algébriques semi-stables sur ℙ_2(ℂ), de rang r et de classes de Chern c_1, c_2 et M_s(r,c_1,c_2) l’ouvert de M(r,c_1,c_2) correspondant aux faisceaux stables. On note μ la pente et Δ le discriminant des faisceaux de rang r et de classes de Chern c_1, c_2. Il existe une unique fonction δ : ℚ → ℚ telle que pour tout choix de r, c_1, c_2, M(r,c_1,c_2) est de dimension positive si et seulement si Δ ≥ δ(μ). Si Δ = δ(μ), on dit que la variété de modules M(r,c_1,c_2) est de hauteur nulle. Soit χ la caractéristique d’Euler-Poincaré des faisceaux cohérents de rang r et de classes de Chern c_1, c_2. On suppose que les entiers r, c_1 et χ sont premiers entre eux. Cette condition signifie que M(r,c_1,c_2) = M_s(r,c_1,c_2), c’est une variété projective lisse irréductible. On étudie dans cet article la cohomologie entière de M(r,c_1,c_2). Pour cela on utilise une description particulière de M(r,c_1,c_2). Soient q, m, n des entiers, avec q ≥ 2, m > 0, n > 0. Les applications linéaires ℂ^m ⊗ ℂ^q → ℂ^n sont appelées ℂ^q-modules de Kronecker. L’espace projectif ℙ des droites de W = L(ℂ^m ⊗ ℂ^q, ℂ^n) est muni d’une action évidente du groupe réductif G = SL(m) × SL(n), qui se prolonge à O_ℙ(1). On note ℙ^ss (resp. ℙ^s) l’ouvert de ℙ des points semi-stables (resp. stables) pour cette action. Soit N(q,m,n) (resp. Ns(q,m,n)) le quotient algébrique de ℙ^ss (resp. ℙ^s) par G. Il existe des entiers q, m, n tels que M(r,c_1,c_2) soit isomorphe à N(q,m,n). La condition “r, c_1 et χ sont premiers entre eux” est équivalente à “m et n sont premiers entre eux”. Pour étudier la cohomologie de N(q,m,n) on utilise deux méthodes, la seconde uniquement dans un cas particulier. La première méthode est celle d’Atiyah-Bott, qui a servi à étudier la cohomologie entière des variétés de modules de fibrés stables sur une courbe projective lisse. Le principal résultat obtenu est que la cohomologie entière de M(r,c_1,c_2) est nulle en degré impair et sans torsion. On trouve aussi des générateurs naturels de cette cohomologie. La méthode permet en outre de calculer les nombres de Betti de N(q,m,n). Le seconde méthode utilise des résultats de Białynicki-Birula (on ne traite que le cas de N(3, 2, 3)). Elle revient à étudier une action naturelle d’un tore sur N(3, 2, 3) et à déterminer ses points fixes. On en déduit que N(3, 2, 3) possède une décomposition cellulaire.

Mots clés: faisceaux stables; variètès de modules; cohomologie

Domaines: Géométrie algébrique [math.AG]

Jean-Marc Drézet. COHOMOLOGIE DES VARIÉTÉS DE MODULES DE HAUTEUR NULLE. Mathematische Annalen, 1988, 281, pp.43-85. ⟨hal-01080400⟩