Deformations of shuffles and quasi-shuffles

Résumé : On s’intéresse aux déformations de la structure d’algèbre de Hopf des battages (ou shuffles) ${\rm Sh}(A)$ définie sur l’algèbre tensorielle sur une algèbre commutative $A$. Ces déformations, dont un cas remarquable est donné par l’algèbre de Hopf des quasi-shuffles ${\rm QSh}(A)$, s’interprètent comme transformations naturelles du foncteur ${\rm Sh}$ vu comme foncteur des algèbres commutatives non unitaires vers les coalgèbres. On montre en particulier que le monoïde des endomorphismes naturels du foncteur ${\rm Sh}$ est isomorphe au monoïde des séries formelles en une variable sans terme constant pour la loi de composition des séries. Les automorphismes naturels du foncteur sont donc en bijection avec les difféomorphismes formels de la droite. Ces transformations s’interprètent aussi comme des élements de l’algèbre de Hopf des surjections (ou, de façon équivalente des fonctions quasi-symétriques en mots) $\mathbf{WQSym}$, et en définissent à leur tour des déformations. Cette remarque conduit entre autres à un nouveau plongement des fonctions quasi-symétriques libres dans $\mathbf{WQSym}$ dont la pertinence est illustrée par une preuve simple de la formule de Goldberg pour les coefficients de la série de Hausdorff.
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Annales de l'Institut Fourier, Association des Annales de l'Institut Fourier, 2016, 66 (1), pp.209-237. 〈10.5802/aif.3010〉
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Contributeur : Patras Frédéric <>
Soumis le : mercredi 6 novembre 2013 - 16:46:16
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Loïc Foissy, Frédéric Patras, Jean-Yves Thibon. Deformations of shuffles and quasi-shuffles. Annales de l'Institut Fourier, Association des Annales de l'Institut Fourier, 2016, 66 (1), pp.209-237. 〈10.5802/aif.3010〉. 〈hal-00880720〉

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