A new construction for invariant numerical schemes using moving frames

Marx Chhay (1) , Aziz Hamdouni (2)

1 LOCIE - LabOratoire proCédés énergIe bâtimEnt
2 LEPTIAB - Laboratoire d'Étude des Phénomènes de Transfert et de l'Instantanéité : Agro-industrie et Bâtiment

We propose a new approach for moving frame construction that allows to make finite difference scheme invariant. This approach takes into account the order of accuracy and guarantees numerical properties of invariant schemes that overcome those of classical schemes. Benefits obtained with this process are illustrated with the Burgers equation. To cite this article: A. Chhay, A. Hamdouni, C. R. Mecanique 333 (2009). Résumé Une construction nouvelle des schémas invariants utilisant les repères mobiles. On propose une procédure nouvelle de construction des repères mobiles permettant de rendre invariant les schémas de discrétisation en différences finies. Elle prend en compte l'ordre de consistance et garantit aux schémas invariants de meilleures performances que celles des schémas classiques. On illustre les performances de cette approche sur l'exemple de l'´ equation de Burgers. Pour citer cet article : M. Chhay, A. Hamdouni, C. R. Mecanique 333 (2009). Version française abrégée Les méthodes numériques construites afin de préserver certaines propriétés liéesliéesà la structure géométrique deséquationsdeséquations s'appelle les intégrateurs géométriques. Elles permettent de traduire naturellement le com-portement qualitatif des solutions ainsi que de réduire les instabilités numériques. En particulier, les Email addresses: [e-mail] (Marx Chhay), [e-mail] (Aziz Hamdouni). schémas invariants permettent de conserver le groupe de symétrie deséquationsdeséquations et de réduire les erreurs numériques. Une méthode de construction de tels schémas a ´ eté développée par M. Fels et P. J. Olver. Elle est basée sur le concept de repère mobile. Dans cette procédure, la qualité des solutions numériques d'un schéma invariant estentì erement conditionnée par le choix du repère mobile associé au groupe de symétrie. Ce choix est déterminé par le procédé de normalisation d' ´ E. Cartan qui permet de ramener la détermination du répère mobile associéassociéà un groupe continue au choix d'une section transverse de l'orbite d'unélémentunélément. Ce procédé possède l'avantage d'exhiber une famille importante de schémas invariant mais ne garantit pas au schéma obtenu des qualités numériques meilleures que le schéma d'origine. Nous pro-posons une méthode de construction nouvelle des schémas invariants utilisant les repères mobiles. Cette méthode peutêtrepeutêtre décrite sous la forme algorithmique suivante : (i) On considère un schéma discrétisant une EDP et le groupe de symétrie dépendant de paramètres réels de l'EDP, (ii) on transforme le schéma afin d'obtenir un schéma paramétrisé, (iii) on suppose une forme algébrique des paramètres en fonction de coefficients réels, (iv) on calcule les conditions d'´ equivariance afin que les paramètres de transformation deviennent des repères mobiles, (v) enfin, on calcule les conditions sur les coefficients réels pour que le schéma transformé soit d'un ordre de précision fixé. Ainsi on obtient un schéma invariant dont l'ordre de consistance est déterminé. On illustre les performances de cette approché a travers la construction d'un schéma invariant pour l'´ equation de Burgers.

Mots clés: Invariant scheme; Lie symmetry; Moving frame; Burgers; Geometric integrator

Mots clés: Repères mobiles; Intégrateur géométrique; Symétrie de Lie; Schéma invariant

Domaines: Physique mathématique [math-ph]; Analyse numérique [math.NA]; Mécanique des fluides [physics.class-ph]; Thermique [physics.class-ph]

Marx Chhay, Aziz Hamdouni. A new construction for invariant numerical schemes using moving frames. Comptes Rendus Mécanique, 2010, 338 (2), pp.97 - 101. ⟨10.1016/j.crme.2010.01.001⟩. ⟨hal-01815747⟩