FILTRATIONS BROWNIENNES ET COMPLÉMENTS INDÉPENDANTS : RÉSULTATS ET PROBLÈMES OUVERTS

Résumé : Dans la première partie, nous comparons la filtration naturelle d'un mouvement brownien $B$ dans $\rrf^d$ à celle du mouvement brownien $B' = \int_0^\cdot H dB$ où $H$ est un processus prévisible dans la filtration de $B$ à valeurs dans $O_d(\rrf)$. Nous montrons l'existence d'une variable aléatoire $U$ indépendante du mouvement brownien $B'$ et de loi uniforme sur $[0,1]$ ou sur un ensemble fini telle que $\sigma(B) = \sigma(B') \vee \sigma(U)$ dans deux situations particulières :- lorsque la transformation est « assujettie » à une subdivision de $\rrf_+$ ; - lorsque la transformation $B \mapsto B'$ commute avec les changements d'échelle.La variable aléatoire $U$ code l'information perdue par la transformation $B \mapsto B'$. Nous montrons que tous les types de perte d'information peuvent se produire : le nombre de valeurs de $U$ peut être infini ou égal à n'importe quel entier $\ge 1$. Dans la seconde partie, nous étudions une question voisine : nous nous donnons un mouvement brownien plan $(X,Y)$ et un mouvement brownien linéaire $X'$ dans la filtration naturelle de $(X,Y)$. Peut-on trouver un autre mouvement brownien linéaire $Y'$ dans la filtration naturelle de $(X,Y)$, indépendant de $X'$ et tel que le mouvement brownien $(X',Y')$ ait la même filtration naturelle que $(X,Y)$ ? Nous donnons une condition nécessaire pour que le mouvement brownien $X'$ possède un complément brownien indépendant et nous étudions quelques exemples.
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Contributeur : Christophe Leuridan <>
Soumis le : mercredi 5 novembre 2008 - 15:46:54
Dernière modification le : mardi 20 février 2018 - 11:10:02
Document(s) archivé(s) le : lundi 7 juin 2010 - 21:04:18

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Christophe Leuridan, Jean Brossard. FILTRATIONS BROWNIENNES ET COMPLÉMENTS INDÉPENDANTS : RÉSULTATS ET PROBLÈMES OUVERTS. Séminaire de Probabilités, Springer-Verlag, 2008, XLI, pp.265-278. ⟨hal-00336968⟩

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