Points de petite hauteur sur une sous-variété d'un tore
Résumé
Nous obtenons une minoration quasi optimale pour le dernier des minimums dits "géométriques" d'une sous-variété $V$ d'une puissance du groupe multiplicatif $G_m^n$. Plus précisément, nous montrons que si $x$ est un point de $V(\Q)$ n'appartenant pas à un translaté d'un sous-tore de $G_m^n$ contenu dans $V$, de hauteur majorée par une fonction essentiellement linéaire en l'inverse du degré de $V$, alors $x$ appartient à un ensemble "exceptionnel" de cardinal fini. Ainsi, à un "$\varepsilon$ près", nous montrons les conjectures les plus précises que l'on peut formuler pour ce problème. Les meilleurs résultats connus précédemment, dues au second auteur et P. Philippon fournissaient des minorations monomiales inverses en le degré de $V$.