Periodic and quasi-periodic solutions of integer or fractional order dynamical systems - Applications to the bowed string
Solutions périodiques et quasi-périodiques de systèmes dynamiques d'ordre entier ou fractionnaire - Applications à la corde frottée
Résumé
The continuation of periodic and quasi-periodic solutions is performed on several models derived from the violin. The continuation for a one degree-of-freedom model with a regularized friction shows, compared with Coulomb friction, the persistence of limit cycle bifurcations (a maximum bow speed and a minimum normal force allowing Helmholtz motion) and of global properties of the solution branch (increase of amplitude with respect to the bow speed, decrease of frequency with respect to the normal force). The Harmonic Balance Method is assessed on this regularized friction system and shows interesting convergence properties (the error is low, monotone and rapidly decreasing). For two modes the continuation shows higher register solutions with a plausible stability. A stronger inharmonicity can greatly modify the bifurcation diagram. A new method is proposed for the continuation of quasi-periodic solutions. It couples a two-pulsations HBM with the Asymptotic Numerical Method. We have taken great care to deal efficiently with large systems of unknowns. A model of friction that takes into account temperature of the contact zone is reformulated with a fractional derivative. We then propose a method of continuation of periodic solutions for differential systems that contain fractional operators. Their definition is usually restricted to causal solutions, which prevents the existence of periodic solutions. Having chosen a specific definition of fractional operators to avoid this issue we establish a sufficient condition on asymptotically attractive cycles in the causal framework to be solutions of our framework.
L'étude par continuation des solutions périodiques et quasi-périodiques est appliquée à plusieurs modèles issus du violon. La continuation pour un modèle à un degré de liberté avec friction régularisée permet de montrer la préservation, par rapport à la friction de Coulomb, des bifurcations de cycle limite (une vitesse maximale et une force minimale permettant le mouvement de Helmholtz) et de propriétés globales de la branche de solution (comme la croissance de l'amplitude avec la vitesse, ou la décroissance de la fréquence avec la force normale). La méthode d'équilibrage harmonique est évaluée sur le système à friction régularisée et présente des propriétés de convergence intéressantes (erreur faible, monotone, à décroissance rapide). La continuation sur un modèle à deux modes donne accès aux solutions de registres supérieurs, dont la stabilité coïncide avec l'expérience. La valeur retenue pour l'inharmonicité peut modifier fortement le diagramme de bifurcation. Une nouvelle méthode de continuation des solutions quasi-périodiques est proposée. Elle associe l'équilibrage harmonique étendu à deux pulsations avec la Méthode Asymptotique Numérique. Une attention particulière est portée à la rapidité des calculs, face à la croissance rapide de la taille des systèmes à inverser. Un modèle de friction prenant en compte la température au point de contact est reformulé à l'aide d'une dérivée fractionnaire. Nous proposons alors une méthode de continuation de solutions périodiques de systèmes différentiels contenant des dérivées ou intégrales fractionnaires. La définition plus souvent adoptée pour les opérateurs fractionnaires se restreint aux solutions causales, ce qui empêche l'existence de solutions périodiques. Ayant adopté une définition particulière des opérateurs pour contourner cette difficulté, nous établissons une condition suffisante pour que les cycles obtenus asymptotiquement dans le cadre causal soient solutions du cadre que nous avons choisi.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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