Analysis and control of polynomial dynamical system
Analyse et contrôle des systèmes dynamiques polynomiaux
Résumé
This thesis presents a study of polynomial dynamical systems motivated by both the wide spectrum of applications of this class (chemical reaction models, electrical mo- dels and biological models) and the difficulty (or inability) of theoretical resolution of such systems. In a first preliminary part, we present multivariate polynomials and we introduce the notion of polar form of a polynomial (blossoming) and Bernstein polynomials which will be of great interest thereafter. In a second part, we consider the polynomial optimization problem said POP. We first describe existing methods allowing us to solve or approximate the solution of such problems. Then, we present two linear relaxations based respectively on the blossoming principle and the Bernstein polynomials allowing us to approximate the optimal value of the POP. The last part of the thesis is devoted to applications of the two relaxation methods in the context of polynomial dynamical systems. A first application is in the context of reachability analysis. In fact, we use our Bernstein relaxation in order to build an algorithm allowing us to approximate the reachable sets of a discretized polynomial dynamical system. A second application deals with the verification and the computation of invariants for polynomial dynamical systems. A third application consists in calculating a controller and an invariant for a polynomial dynamical system subject to disturbances. For the invariance problem, we use the relaxation based on the blossoming principle. Finally, the last application consists in exploiting the main properties of the polar form in order to study polynomial dynamical systems in rectangles.
Cette thèse présente une étude des systèmes dynamiques polynomiaux motivée à la fois par le grand spectre d'applications de cette classe (modèles de réactions chimiques, modèles de circuits électriques ainsi que les modèles biologiques) et par la difficulté (voire incapacité ) de la résolution théorique de tels systèmes. Dans une première partie préliminaire, nous présentons les polynômes multi-variés et nous introduisons les notions de forme polaire d'un polynôme (floraison) et de polynômes de Bernstein qui seront d'un grand intérêt par la suite. Dans une deuxième partie, nous considérons le problème d'optimisation polynomiale dit POP. Nous décrivons dans un premier temps les principales méthodes existantes permettant de résoudre ou d'approcher la solution d'un tel problème. Puis, nous présentons deux relaxations linéaires se basant respectivement sur le principe de floraison ainsi que les polynômes de Bernstein permettant d'approcher la valeur optimale du POP. La dernière partie de la thèse sera consacrée aux applications de nos deux méthodes de relaxation dans le cadre des systèmes dynamiques polynomiaux. Une première application s'inscrit dans le cadre de l'analyse d'atteignabilité : en effet, on utilisera notre relaxation de Bernstein pour pouvoir construire un algorithme permettant d'approximer les ensembles atteignables d'un système dynamique polynomial discrétisé. Une deuxième application sera la vérification et le calcul d'invariants pour un système dynamique polynomial. Une troisième application consiste à calculer un contrôleur et un invariant pour un système dynamique polynomial soumis à des perturbations. Dans le contexte de l'invariance, on utilisera la relaxation se basant sur le principe de floraison. Enfin, une dernière application sera d'exploiter les principales propriétés de la forme polaire pour pouvoir étudier des systèmes dynamiques polynomiaux dans des rectangles.