On theories without the tree property of the second kind
Sur les théories sans la propriété de l'arbre du second type
Résumé
This thesis in pure model theory presents the first systematic study of the class of NTP2 theories introduced by Shelah, with a special accent on the NIP case. In the first and second chapters we develop the theory of forking over extension bases (e.g. we prove existence of universal Morley sequences, equality of forking and dividing, an independence theorem and equality of Lascar type and compact type) thus making it possible to view the results of Kim and Pillay on simple theories as a special case, but also providing a missing counterpart for the case of NIP theories. This answers questions of Adler, Hrushovski and Pillay. In the third chapter we develop the basics of the theory of burden (a generalization of the weight calculus), in particular we show that it is submultiplicative, answering a question of Shelah. We then study simple and NIP types in NTP2 theories: we prove that simple types are co-simple, characterized by the co-independence theorem, and forking between realizations of a simple type and arbitrary elements satisfies full symmetry; we show that a type is NIP if and only if all of its extensions have only boundedly many global non-forking extensions. We also prove an Ax-Kochen type preservation of NTP2, thus showing that e.g. any ultraproduct of p-adics is NTP2. We go on to study the special case of NIP theories. In Chapter 4 we introduce honest definitions and using them give a new proof of the Shelah expansion theorem and a general criterion for dependence of an elementary pair. As an application we show that naming a small indiscernible sequence preserves NIP. In Chapter 5, we combine honest definitions with some deeper combinatorial results from the Vapnik-Chervonenkis theory to deduce that in NIP theories, types over finite sets are uniformly definable. This confirms a conjecture of Laskowski for NIP theories. Besides, we give a new sufficient condition for a theory of a pair to eliminate quantifiers down to the predicate (in particular answering a question of Baldwin and Benedikt about naming an indiscernible sequence) and some examples concerning definability of 1-types vs definability of n-types over models. The last chapter is devoted to the study of non-forking spectra. To a countable first-order theory we associate its non-forking spectrum — a function of two cardinals kappa and lambda giving the supremum of the possible number of types over a model of size lambda that do not fork over a sub-model of size kappa. This is a natural generalization of the stability function of a theory. We make progress towards classifying the non-forking spectra. Besides, we answer a question of Keisler regarding the number of cuts a linear order may have. Namely, we show that it is possible that κ < (ded κ)ω
Cette thèse en théorie des modèles pure présente la première étude systématique de la classe des théories NTP2 introduites par Shelah, avec un accent particulière sur le cas NIP. Dans les premier et deuxième chapitres, nous développons la théorie de la bifurcation sur des bases d'extension (par exemple, nous prouvons l'existence de suites de Morley universelles, l'égalité de la bifurcation avec la division, un théorème d'indépendance et d'égalité du type Lascar avec le type compact). Ceci rend possible de considérer les résultats de Kim et Pillay sur des théories simples comme un cas particulier, tout en fournissant une contrepartie manquante pour le cas des théories NIP. Cela répond à des questions de Adler, Hrushovski et Pillay. Dans le troisième chapitre, nous développons les rudiments de la théorie du fardeau (une généralisation du calcul du poids), en particulier, nous montrons qu'il est sous-multiplicatif, répondant à une question de Shelah. Nous étudions ensuite les types simples et NIP en théories NTP2: nous montrons que les types simples sont co-simples, caractérisés par le théorème de coindépendance, et que la bifurcation entre les réalisations d'un type simple et des éléments arbitraires satisfait la symétrie complète; nous montrons qu'un type est NIP si et seulement si toutes ses extensions ont un nombre borné d'extensions globales non-bifurquantes. Nous prouvons aussi une préservation de type d'Ax-Kochen pour NTP2, montrant que, par exemple, tout ultraproduit de p-adics est NTP2. Nous continuons à étudier le cas particulier des théories NIP. Dans le chapitre 4, nous introduisons les définitions honnêtes et les utilisons pour donner une nouvelle preuve du théorème de l'expansion de Shelah et un critère général pour la dépendance d'une paire élémentaire. Comme une application, nous montrons que le fait de nommer une petite suite indiscernable préserve NIP. Dans le chapitre 5, nous combinons les définitions honnêtes avec des résultats combinatoires plus profonds de la théorie de Vapnik- Chervonenkis pour déduire que, dans théories NIP, des types sur ensembles finis sont uniformément définissables. Cela confirme une conjecture de Laskowski pour les théories NIP. Par ailleurs, nous donnons une nouvelle condition suffisante pour une théorie d'une paire d'éliminer les quantificateurs en des quantificateurs sur le prédicat et quelques exemples concernant la définissabilité de 1-types vs la définissabilité de n-types sur les modèles. Le dernier chapitre concernes la classification des taux de croissance du nombre des extensions non-bifurquantes. Nous avançons vers la conjecture qu'il existe un nombre fini de possibilités différentes et développons une technique générale pour la construction de théories avec un nombre prescrit d'extensions non- bifurquantes que nous appelons la circularisation. En particulier, nous répondons par la négative à une question d'Adler en donnant un exemple d'une théorie qui a IP où le nombre des extensions non- bifurquantes de chaque type est bornée. Par ailleurs, nous résolvons une question de Keisler sur le nombre de coupures de Dedekind dans les ordres linéaires: il est compatible avec ZFC que κ < (ded κ)ω
Domaines
Théorie des groupes [math.GR]
Origine : Version validée par le jury (STAR)