Mathematical modeling in cardiac imaging
Modélisation mathématique en imagerie cardiaque
Résumé
Cardiovascular disease are the leading cause of death worldwide. It is therefore vital to study them in order to understand the mechanisms and to prevent and treat these diseases more effectively. Therefore it requires an understanding of anatomy, structure and motion of the heart. In this thesis, we are interested in a first time at the Deformable Elastic Template model which can extract the cardiac anatomy and movement. The Elastic Deformable template is to represent the myocardium by a shape model a priori given that it elastically deforms to fit the specific shape of the patient’s heart. In the first chapter of this thesis, we use a singular perturbation method for accurately segmenting the image. We have demonstrated that if we did tend to 0 the coefficients of elasticity, the mathematical model converge to a solution to the problem of segmentation. As part of a formulation to the least squares sense it is necessary to have an efficient numerical method for solving the transport equation in the least squares sense. The finite element method to treat transport phenomena can not have a weak maximum principle, unless the operator of partial time is separated from the operator of partial space.In Chapter 2 of the thesis, we consider a least squares formulation of space-time and we propose to solve the problem constraints to recover a discrete maximum principle. The final objective of this thesis is the dynamic monitoring of cardiac images or anatomical reconstruction of the heart from 2D slices orthogonal to the long axis of the heart level. The mathematical method we use for this is the optimal transport. In Chapter 3 we analyze the performance of the algorithm proposed by Peyré to calculate the optimal transport of our images. The numerical resolution of optimal transport is a difficult and costly in computation time problem. That is why we propose an adaptive method for determining the proximity operator of the function to be minimized to divide by four the number of iterations required for the algorithm converges.
Les pathologies cardiovasculaires sont la première cause des décès dans le monde. Il est donc vital de les étudier afin d’en comprendre les mécanismes et pouvoir prévenir et traiter plus efficacement ces maladies. Cela passe donc par la compréhension de l’anatomie, de la structure et du mouvement du coeur. Dans le cadre de cette thèse, nous nous sommes intéressés dans un premier temps au modèle de Gabarit Déformable Élastique qui permet d’extraire l’anatomie et le mouvement cardiaques. Le Gabarit Déformable Élastique consiste à représenter le myocarde par un modèle de forme a priori donné que l’on déforme élastiquement pour l’adapter à la forme spécifique du coeur du patient Dans le premier chapitre de cette thèse, nous utilisons une méthode de perturbation singulière permettant la segmentation avec précision de l’image. Nous avons démontré que si l’on faisait tendre vers 0 les coefficients de l’élasticité, le modèle mathématique convergeait vers une solution permettant la segmentation. Dans le cadre d’une formulation au sens des moindres carrés il est nécessaire de disposer d’une méthode numérique performante pour résoudre l’équation du transport au sens des moindres carrés. La méthode des éléments finis pour traiter les phénomènes de transport ne permet pas d’avoir un principe du maximum faible, sauf si l’opérateur aux dérivées partielles en temps est séparé de l’opérateur aux dérivées partielles en espace. Dans le chapitre 2 de la thèse nous considérons une formulation au sens des moindres carrés espace-temps et nous proposons de résoudre un problème sous contraintes afin de récupérer un principe du maximum discret. Le dernier objectif de la thèse est le suivi dynamique d’images cardiaques ou la reconstruction anatomique du coeur à partir de coupes 2D dans le plan orthogonal au grand axe du cœur. La méthode mathématique que nous utilisons pour cela est le transport optimal. Dans le chapitre 3 nous analysons les performances de l’algorithme proposé par Peyré pour calculer le transport optimal de nos images. La résolution numérique du transport optimal est un problème difficile et couteux en temps de calcul. C’est pourquoi nous proposons une méthode adaptative pour le calcul de l’opérateur proximal de la fonction à minimiser permettant de diviser par quatre le nombre nécessaire des itérations pour que l’algorithme converge.
Origine : Version validée par le jury (STAR)
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