Real automorphisms of a bundle, Cauchy-Riemann operators and orientability of moduli spaces

Automorphismes réels d'un fibré, opérateurs de Cauchy-Riemann et orientabilité d'espaces de modules

Rémi Crétois (1)

1 ICJ - Institut Camille Jordan

We consider a complex vector bundle N equipped with a real structure cN over a real curve. The set of all real Cauchy-Riemann operators on (N, cN) is an infinite dimensional affine space. The union of all the determinant lines of such operators is a real line bundle Det(N) over this space. The aim of this work is to study the action of the the automorphism group of (N, cN) on the orientations of Det(N) and to deduct some results concerning the orientability of the moduli spaces of real curves in a real symplectic manifold. We first compute the action of the automorphisms which induce the identity on the complex line bundle det(N) in terms of Pin± structures on the real part of (N, cN). We then note that an automorphism of (N, cN) which lifts the identity of the curve acts on the bordism classes of real Spin structures on the curve. We use this action to give a topological description of the action on the orientations of Det(N). Finally, we introduce the notion of a lift of a diffeomorphism of the curve associated to a divisor compatible with (N, cN). Those are automorphisms of (N, cN) for which we can compute explicitly the action on the orientations of Det(N). The last part is devoted to some applications to the study of the orientability of moduli spaces of real curves in a real symplectic manifold. We compute for example, the first Stiefel-Whitney class of such moduli spaces in the case of the complex projective space of dimension three.

L'ensemble des opérateurs de Cauchy-Riemann réels sur un fibré vectoriel complexe N muni d'une structure réelle cN au-dessus d'une courbe réelle est un espace affine de dimension infinie. L'union des déterminants de ces opérateurs est un fibré en droites réelles au-dessus de cet espace. L'objet de cette thèse est l'étude de l'action des automorphismes du fibré (N, cN) sur les orientations de ce fibré déterminant ainsi que de ses conséquences sur l'orientabilité des espaces de modules de courbes réelles dans une variété symplectique réelle. Nous commençons par interpréter l'action des automorphismes qui induisent l'identité sur le fibré en droites complexes det(N) en termes d'action sur les structures Pin± de la partie réelle de N. Nous remarquons ensuite qu'un automorphisme au-dessus de l'identité agit sur les classes de bordisme de structures Spin réelles de la courbe et nous utilisons cette action afin d'obtenir une description en termes topologiques de l'action sur les orientations du fibré déterminant. Enfin, pour comprendre l'action des automorphismes de (N, cN) qui ne relèvent pas l'identité, nous introduisons la notion de relevé d'un difféomorphisme de la courbe associé à un diviseur compatible avec (N, cN) et nous calculons le signe de l'action d'un tel relevé sur les orientations du fibré déterminant. Dans une dernière partie, nous appliquons les résultats obtenus à l'étude de l'orientabilité des espaces de modules de courbes réelles dans des variétés symplectiques réelles. Nous calculons en particulier la première classe de Stiefel-Whitney de l'espace de modules des courbes réelles dans l'espace projectif complexe de dimension trois.

Mots clés: vector bundles; real curves; Cauchy-Riemann operators; moduli spaces; Gromov-Witten invariants

Mots clés: fibrés vectoriels; courbes réelles; opérateurs de Cauchy-Riemann; espaces de modules; invariants de Gromov-Witten

Domaines: Géométrie symplectique [math.SG]

Rémi Crétois. Automorphismes réels d'un fibré, opérateurs de Cauchy-Riemann et orientabilité d'espaces de modules. Géométrie symplectique [math.SG]. Université Claude Bernard - Lyon I, 2011. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00656631⟩