Histoires hédonistes de groupes et de géométries
Résumé
Le livre propose d'abord de revisiter les programmes de la licence jusqu'à l'agrégation à l'aune des actions de groupes, qui offrent un principe unificateur exceptionnel.
Ces actions sont enrichies de structures variées, motivées chaque fois pour leur apport simplificateur: topologie et géométrie différentielle. À l'aide d'un nombre volontairement réduit d'outils théoriques, un plan d'étude d'une action (par la description des orbites, d'invariants, de formes normales et de l'adhérence des orbites) est mené de façon systématique dans des situations nombreuses et variées, faisant un pont entre les plus familières (théorème du rang) et les plus sophistiquées (variétés de Schubert).
La combinatoire apparaît aussi, comme une version discrète de la géométrie sur les corps finis. Elle donne des applications aussi spectaculaires qu'inattendues (formule du triple produit de Jacobi comme «trace» de la théorie des matrices échelonnées, loi de réciprocité quadratique comme conséquence de la géométrie d'une quadrique finie...).