q-Bernoulli-Carlitz Zahlen und Kettenbrüche

Carlitz q-Bernoulli numbers and continued fractions

Nombres de q-Bernoulli-Carlitz et fractions continues

Frédéric Chapoton (1, 2) , Jiang Zeng (3)

1 ICJ - Institut Camille Jordan
2 IRMA - Institut de Recherche Mathématique Avancée
3 CTN - Combinatoire, théorie des nombres

Carlitz has introduced q-analogues of the Bernoulli numbers around 1950. We obtain a representation of these q-Bernoulli numbers (and some shifted version) as moments of some orthogonal polynomials. This also gives factorisations of Hankel determinants of q-Bernoulli numbers, and continued fractions for their generating series. Some of these results are q-analogues of known results for Bernoulli numbers, but some are specific to the q-Bernoulli setting.

Carlitz a introduit vers 1950 des q-analogues des nombres de Bernoulli. On obtient une représentation de ces q-analogues (ainsi que de variantes décalées) comme moments de certains polynomes orthogonaux. Ceci donne aussi des factorisations des déterminants de Hankel des nombres de q-Bernoulli, ainsi que des fractions continues pour leurs séries génératrices. Certains de ces résultats sont des q-analogues d'´ enoncés connus pour les nombres de Bernoulli, mais d'autres sont sans version classique.

Mots clés: orthogonal polynomial; continued fraction; bernoulli number; Hankel determinant; q-analogue

Domaines: Algèbres quantiques [math.QA]; Théorie des nombres [math.NT]

Frédéric Chapoton, Jiang Zeng. Nombres de q-Bernoulli-Carlitz et fractions continues. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, 2017, 29 (2), pp.347-368. ⟨10.5802/jtnb.984⟩. ⟨hal-01175789⟩