Spaces of holomorphic functions, dominating sets
Espaces de fonctions holomorphes, ensembles dominants
Résumé
An important problem in signal theory is the reconstruction of a signal from a partial information, for exemple values in points or on subsets. Often these signals can be represented by holomorphic functions in a certain space the norm of which is given by integration on a certain domain.Dominating sets are the sets over which it suffices to integrate to find the norm of a function. They have been studied in large classes of holomorphic function spaces. In all these spaces, it turns out that a notion of relative density characterizes the dominating stes. In this context, it is useful to know whether we can relate the density of the set to the sampling constant. Indeed, knowing this link makes it possible to estimate the cost of sampling according to the expected precision of the norm of the function. Kovrijkine solved this problem for the Paley-Wiener spaces in the early 2000s. His idea was to establish local estimates on intervals or disks of a given size, and to show that these intervals or disks are sufficiently numerous to be able to recover the norm of the function. He showed that in this space, the sampling constant depends polynomially on the density. For that, he uses the Remez inequality which makes it possible to estimate a polynomial on a certain domain and which is uniformly controlled on a subset, as well as Bernstein’s inequality. In this thesis, we study the sampling constants for dominating sets in Bergman spaces and generalized Fock spaces and we show that again in these spaces there is a polynomial dependence of the sampling constant as a function of the relative density. While following the original idea of Kovrijkine, we develop a new method allowing to avoid the Bernstein inequality which is no longer true in the Bergman and Fock spaces. The Remez inequalities have been replaced by Andrievskii-Ruscheweyh inequalities which allow to consider planar sets in the Bergman and generalized Fock spaces. Our method also applies to the Paley-Wiener spaces already treated by Kovrijkine.
Une catégorie importante de problèmes en théorie du signal consiste à reconstruire un signal donné à partir d’une information partielle, par exemple des valeurs en des points ou sur un sous-ensemble. Souvent, ces signaux peuvent être modélisés à l’aide de fonctions holomorphes appartenant à des espaces dont la norme est donnée par une intégration sur un domaine donné. Les ensembles dominants sont des sous-ensembles du domaine de définition commun des fonctions de l’espace sur lesquels il suffit d’intégrer pour retrouver la norme d’une fonction. Ces ensembles ont été étudiés dans de larges classes d'espaces de fonctions holomorphes. Dans tous ces espaces, il s'avère qu'une notion de relative densité caractérise les ensembles dominants. Dans ce contexte, il est utile de savoir si nous pouvons établir un lien entre la densité de l'ensemble et la constante d'échantillonnage. En effet, connaitre ce lien permet d'estimer le coût de l'échantillonnage en fonction de la précision espérée de la norme de la fonction. Kovrijkine a résolu ce problème pour les espaces de Paley-Wiener au début des années 2000. Son idée était d'établir des estimations locales sur des intervalles ou des disques de taille donnée, et de montrer que ces intervalles ou disques sont suffisamment nombreux pour pouvoir récupérer la norme de la fonction. Il a montré que dans cet espace, la constante d'échantillonnage dépend polynomialement de la densité. Pour cela, il utilise l’inégalité de Remez qui permet d'estimer un polynôme donné sur un certain domaine sachant que ce polynôme est uniformément contrôlé sur un sous-ensemble, ainsi que l’inégalité de Bernstein. Dans cette thèse, nous étudions les constantes d'échantillonnage pour les ensembles dominants dans les espaces de Bergman et les espaces de Fock généralisés, et nous montrons que dans ces espaces aussi il y a une dépendance polynomiale de la constante d’échantillonnage en fonction de la densité. Tout en suivant l’idée originale de Kovrijkine, nous développons une nouvelle méthode permettant de s’affranchir de l’inégalité de Bernstein qui n’est plus vérifiée dans les espaces de Bergman et de Fock. Les inégalités de Remez ont été remplacées par des inégalités d'Andrievskii-Ruscheweyh qui permettent de considérer des ensembles planaires dans les espaces de Bergman et de Fock généralisé. Notre méthode s’applique également aux espaces de Paley-Wiener déjà traités par Kovrijkine.
Origine : Version validée par le jury (STAR)