Study of the discrete spectrum of complex perturbations of operators from mathematical physics
Étude du spectre discret de perturbations d'opérateurs de la physique mathématique
Résumé
The topic of this thesis concern the discrete spectrum of non-selfadjoint operators defined by relatively compact perturbation of selfadjoint operators.
These selfadjoint operators are choosen among classical operators of quantum mechanics.
These are the Dirac operator, the Klein-Gordon operator, and the fractional laplacian
who generalize the Schroedinger operator usually studied for such issues.
The main method is based on a theorem of complex analysis which gives Blaschke-type condition on the zeros of a holomorphic function on the unit disc.
This Blaschke condition gives informations on the behaviour of eigenvalues of the perturbed operator by mean of Lieb-Thirring-type inequalities.
Another method using functional analysis is also used to obtain these kind of inequalities and both methods are compared to each other.
L'objet de cette thèse est d'obtenir des informations sur le spectre discret d'opérateurs non auto-adjoints définis par des perturbations relativement compactes d'opérateurs auto-adjoints. Ces opérateurs auto-adjoints sont choisit parmi les opérateurs classique de mécanique quantique. Il s'agit des opérateurs de Dirac, de Klein-Gordon et le laplacien fractionnaire qui généralise l'étude de l'opérateur de Schroedinger habituellement considéré pour de tels problèmes.
La principale méthode utilisée ici relève d'un théorème d'analyse complexe donnant une condition de type Blaschke sur les zéros d'une fonction holomorphe du disque unité.
Cette condition traduit le comportement des valeurs propres de l'opérateur perturbé
sous forme d'inégalités de type Lieb-Thirring.
Une autre méthode venant d'analyse fonctionnelle a été employée pour obtenir de telles inégalités et les deux méthodes sont comparées entre elles.
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