Around a conjecture by B. Gross on the existence of several nonsolvable number fields ramified only at one small prime p
Autour d'une conjecture de B. Gross relative à l'existence de corps de nombres de groupe de Galois non résoluble et ramifiés en un unique premier p petit
Résumé
The current research examines the conjecture made by B. Gross on the existence of several number fields with a nonsolvable Galois group and which are ramified at exactly one prime p less than 11.
The study concerns the number fields of degree n ≤ 9. First of all, we focus on the instruments of the analysis, before presenting the methods that we used to solve the problem.
The work of J. Jones showed that quintic and sextic number fields ramified only at one small prime are always solvable.
Also, S. Brueggeman showed that septic number fields ramified only at one small prime are always solvable.
We eliminate octic and nonic number fields ramified only at 5 by using a method which depend on GRH or inconditionally by computer search. Our computer search also shows that only the ramification at p = 2 for the octic number fields and the ramification at p = 3 for the nonic number fields are possible. Note that all of these fields found have a solvable Galois group. We conclude that Gross's question has a negative answer for nonsolvable Galois group inside S_n, for n ≤ 9.
The study concerns the number fields of degree n ≤ 9. First of all, we focus on the instruments of the analysis, before presenting the methods that we used to solve the problem.
The work of J. Jones showed that quintic and sextic number fields ramified only at one small prime are always solvable.
Also, S. Brueggeman showed that septic number fields ramified only at one small prime are always solvable.
We eliminate octic and nonic number fields ramified only at 5 by using a method which depend on GRH or inconditionally by computer search. Our computer search also shows that only the ramification at p = 2 for the octic number fields and the ramification at p = 3 for the nonic number fields are possible. Note that all of these fields found have a solvable Galois group. We conclude that Gross's question has a negative answer for nonsolvable Galois group inside S_n, for n ≤ 9.
La présente étude vise à vérifier la conjecture faite par B. Gross relative à l'existence de corps de nombres de groupe de Galois non résoluble et ramifiés en un unique premier p < 11.
À travers ce travail, nous nous intéressons au cas des corps de nombres de degré n ≤ 9. Après quelques rappels généraux sur les outils utilisés, on présente les méthodes pratiques permettant de vérifier cette conjecture.
Les travaux de J. Jones ont montré que les corps de nombres de degré 5 et 6 vérifiant ces types de ramification ont tous un groupe de Galois résoluble.
Dans le cas du degré 7, S. Brueggeman a abouti au même résultat que le travail sus cité.
Nos travaux dans le cas des degrés 8 et 9 montrent que sous GRH ou de façon inconditionnelle, la ramification en 5 n'est pas possible. À l'issue des recherches numériques, les seules tables obtenues sont celles de la ramification en p = 2 en degré 8 et celles de la ramification en p = 3 en degré 9. Les corps obtenus ont tous un groupe de Galois résoluble, montrant ainsi que cette conjecture de B. Gross n'est pas vérifiée pour les corps de nombres de degré n ≤ 9.
À travers ce travail, nous nous intéressons au cas des corps de nombres de degré n ≤ 9. Après quelques rappels généraux sur les outils utilisés, on présente les méthodes pratiques permettant de vérifier cette conjecture.
Les travaux de J. Jones ont montré que les corps de nombres de degré 5 et 6 vérifiant ces types de ramification ont tous un groupe de Galois résoluble.
Dans le cas du degré 7, S. Brueggeman a abouti au même résultat que le travail sus cité.
Nos travaux dans le cas des degrés 8 et 9 montrent que sous GRH ou de façon inconditionnelle, la ramification en 5 n'est pas possible. À l'issue des recherches numériques, les seules tables obtenues sont celles de la ramification en p = 2 en degré 8 et celles de la ramification en p = 3 en degré 9. Les corps obtenus ont tous un groupe de Galois résoluble, montrant ainsi que cette conjecture de B. Gross n'est pas vérifiée pour les corps de nombres de degré n ≤ 9.
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