Around the corona problem
Autour du problème de la couronne
Résumé
In a first part, we are interested in a problem of division in Hardy spaces of the unit ball B of C^n. Given m functions g_1,...,g_m holomorphic and bounded in B, and a holomorphic function f, we give a sufficient condition, weaker than the classical corona hypothesis, so that there exist m functions f_1,...,f_m in a Hardy space of B such that f_1g_1+...+f_mg_m=f. The proof is based on the Koszul complex method, and the resolution of d"-equations with good estimates. The main new difficulty, with respect to previous works, comes from the fact that the functions g_1,...,g_m may have common zeros. In a second part we are interested in the corona problem in the Hardy spaces of the bidisc equipped with its topological boundary. We give a result about the resolution of a d"-equation in the bidisc with estimates in Lp of the bondary, when the data verify Carleson-type hypotheses. Finally, we end with a result allowing to deduce a corona theorem with values in vector spaces of finite dimension from a classical corona theorem in a Hardy space of a domain in C^n. As a consequence we obtain an operator corona theorem in Hardy spaces of the ball and of the polydisc equipped with its distinguished boundary.
On s'intéresse dans un premier temps à un problème de division dans les espaces de Hardy de la boule B de C^n. Il s'agit, étant données m fonctions g_1,...,g_m holomorphes et bornées dans B, et une fonction f holomorphe dans B, de donner une condition suffisante, plus faible que l'hypothèse classique de la couronne, pour qu'il existe m fonctions f_1,...,f_m dans un espace de Hardy de B vérifiant f_1g_1+...+f_mg_m=f. La démonstration repose sur l'utilisation du complexe de Koszul, et la résolution du d" avec de bonnes estimations. La principale nouvelle difficulté, par rapports aux travaux antérieurs, provient du fait que les fonctions g_1,...,g_m peuvent s'annuler simultanément. Dans un deuxième temps on s'intéresse au problème de la couronne dans les espaces de Hardy du bidisque muni de son bord topologique. On donne un résultat de résolution du d" dans le bidisque avec estimations dans Lp du bord de celui-ci, quand les donnnées vérifient des hypothèses de type Carleson. Enfin on termine avec un résultat permettant de déduire d'un théorème de la couronne dans un espace de Hardy d'un domaine de C^n, un théorème de la couronne à valeurs dans des espaces vectoriels de dimension finie. Ceci nous permet d'obtenir un théorème de la couronne opérateur dans les espaces de Hardy de la boule et du polydisque muni de son bord distingué.