MODELLING REASONING IN PROBLEM SOLVING SITUATIONS: DIFFERENT LEVELS OF PROOF IN THE TEACHING OF LIMITS

UN MODÈLE D'ANALYSE DES RAISONNEMENTS DANS LES SITUATIONS DIDACTIQUES : ÉTUDE DES NIVEAUX DE PREUVES DANS UNE SITUATION D’ENSEIGNEMENT DE LA NOTION DE LIMITE

Isabelle Bloch (1) , Patrick Gibel (2)

1 Lab-E3D - Laboratoire d'épistémologie et de didactiques des disciplines de Bordeaux
2 LMAP - Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applications [Pau]

In this paper we present a model in order to analyse the reasoning processes produced in solving problems situations (situations with an adidactical dimension). Argumentations can be identified by elements of different nature: language, calculations, formulas, graphs… These elements are usually interpreted as signs in a representative setting or as elements of a proof or a demonstration. We choose not to emphasize these components, but to explain that three axes are useful in order to analyse reasoning: the first one is linked to the level of milieu in the situation, which establishes more or less the form and logical status of the mathematical statements; the second one is stated with respect to the functions of the reasoning processes; the third dimension is a semiotic one that considers the forms of the statements. We perform this study using the Theory of Didactical Situations (TDS) and Peirce's semiotic theory. We exemplify this model with an experimental analysis of reasoning processes in a situation about calculus, with 17-years old scientific students. Resumen-En este trabajo presentamos un modelo para analizar el razonamiento producido en situaciones didácticas que implican una dimensión de investigación (situaciones con una dimensión adidáctica). Los razonamientos se traducen por elementos del lenguaje, cálculos, escritura, gráficos que habitualmente se interpretan como signos de un registro de representación, o como elementos de una fase de prueba o demostración. En lugar de centrarnos sobre estos aspectos, mostramos tres ejes necesarios para

Resumen – En este trabajo presentamos un modelo para analizar el razonamiento producido en situaciones didácticas que implican una dimensión de investigación (situaciones con una dimensión adidáctica). Los razonamientos se traducen por elementos del lenguaje, cálculos, escritura, gráficos que habitualmente se interpretan como signos de un registro de representación, o como elementos de una fase de prueba o demostración. En lugar de centrarnos sobre estos aspectos, mostramos tres ejes necesarios para analizar los razonamientos: el primero está unido al medio en la situación, nivel en el que están vinculados la forma y el estatus lógico de las proposiciones; el segundo se refiere a las funciones del razonamiento; el tercero es un eje de naturaleza semiótica basado en el análisis de las representaciones. Este estudio utiliza dos marcos teóricos complementarios: la Teoría de las Situaciones Didácticas y la semiótica de Peirce. Ejemplificamos este modelo mediante el análisis de razonamientos que surgen en las diferentes fases de una situación en una dimensión adidáctica: la situación del copo de nieve de Von Koch con estudiantes de secundaria de 17 anos.

Dans ce texte nous présentons un modèle afin d'analyser les raisonnements produits dans les situations didactiques comportant une dimension de recherche (situations à dimension adidactique). Ces raisonnements se traduisent par des éléments langagiers, calculatoires, scripturaux, graphiques, qui sont habituellement interprétés comme des signes appartenant à un registre de représentation, ou comme des éléments d'une phase de preuve ou de démonstration. Plutôt que de nous focaliser sur l'un ou l'autre de ces aspects, nous montrons que trois axes sont nécessaires pour analyser les raisonnements : le premier est attaché au niveau de milieu dans la situation, niveau auquel sont liés la forme et le statut logique des énoncés émis ; le deuxième concerne les fonctions du raisonnement ; le troisième est un axe de nature sémiotique basé sur l’analyse des représentations. Cette étude est conduite en articulant deux cadres théoriques complémentaires : la TSD et la sémiotique de Peirce. Nous illustrons notre propos par l'analyse des raisonnements entrepris dans les différentes phases d'une situation comportant une dimension adidactique : la situation du flocon de Von Koch en fin de secondaire. Mots-clés : situations à dimension adidactique, preuve, raisonnement, répertoire de représentations, analyse, limite.

Mots clés: Key-words: adidactical situations; proof; reasoning; representative settings; calculus; limit

Domaines: Sciences de l'Homme et Société; Education; Mathématiques [math]

Isabelle Bloch, Patrick Gibel. UN MODÈLE D'ANALYSE DES RAISONNEMENTS DANS LES SITUATIONS DIDACTIQUES : ÉTUDE DES NIVEAUX DE PREUVES DANS UNE SITUATION D’ENSEIGNEMENT DE LA NOTION DE LIMITE. Recherches en Didactique des Mathematiques, 2011. ⟨hal-02525901⟩