Compatibility conditions for the Navier-Stokes equations

Des conditions de compatibilité pour l'équation de Navier-Stokes

Jean-Paul Caltagirone (1)

1 I2M - Institut de Mécanique et d'Ingénierie de Bordeaux

The constraint associated with the Navier-Stokes equation, div V = 0, is necessary but not sufficient to ensure the incompressibility of a fluid flow. The application of the divergence operator to the equation of motion reveals a term, the second invariant of the velocity gradient tensor, which does not vanish with the incompressibility constraint. This quantity appears as a condition of compatibility to be imposed on the velocity field to satisfy the incompressibility of the flow. Consideration of this condition makes it possible to construct a method for upgrade the pressure without numerical artifice of the type projections methods.

La contrainte associée à l'équation de Navier-Stokes, div V = 0, est nécessaire mais non suffisante pour assurer l'incompressibilité d'un écoulement fluide. L'application de l'opérateur divergence à l'équation du mouvement fait apparaître un terme, le second invariant du tenseur gradient de vitesse, qui ne s'annule pas avec la contrainte d'incompressibilité. Cette quantité apparaît comme une condition de compatibilité à imposer au champ de vitesse pour satisfaire l'incompressibilité de l'écoulement. La prise en considération de cette condition permet de bâtir une méthode pour relever la pression sans artifice numérique de type méthodes de projections.

Mots clés: Equivalence Principle; Hodge-Helmholtz Decomposition; Compatibility Conditions; Navier-Stokes Equations; Discrete Mechanics; Projection Methods

Mots clés: Principe d'Equivalence; Décomposition de Hodge-Helmholtz; Conditions de compatibilité; Equations de Navier-Stokes; Mécanique des Milieux Discrets; Méthodes de projection

Domaines: Mécanique des fluides [physics.class-ph]

Jean-Paul Caltagirone. Des conditions de compatibilité pour l'équation de Navier-Stokes. 2017. ⟨hal-01527818⟩