Soporte de las soluciones de ecuaciones differenciales con coefficientes en cuerpos de series generalizadas de rango finito

Mickaël Matusinski (1)

1 IMB - Institut de Mathématiques de Bordeaux

Soporte de las soluciones de ecuaciones differenciales con coefficientes en cuerpos de series generalizadas de rango finito Mickaël Matusinski 21 septembre 2007 Table des matières 1 Introducion 1 2 Campos de vectores y ecuaciones sub-analyticas 3 3 Cuerpos de series generalizadas de rango finito 4 4 Compendio de la prueba del teorema principal 5 1 Introducion Estudiamos ecuaciones differenciales de tipo F (y,. .. ,y (n)) = 0 donde F (Y 0 ,. .. ,Y n) es una serie formal en Y 0 ,. .. ,Y n con coefficientes en un cierto cuerpo de series generalizadas M r. Nuestro problema es comprender la relacion que hay entre el conjunto de los exponentes de sus coefficientes (que notamos Supp F) y los exponentes de los elementos de y 0 ∈ M r soluciones (que notamos Supp y 0). Dado un grupo abeliano totalmente ordenado G, llamamos serie generalizada con potencias en G una expression a = g∈G A g t g. Los coefficientes A g son reales, t es la variable abstracta y el soporte de a (el conjunto de exponentes g ∈ G tal que A g = 0) es un sub-conjunto bien ordenado de G. Hahn demonstro en [Hah07] que el conjunto de las series generalizadas es un cuerpo valorado. El estudio de las series generalizadas esta al confluente de recientes adelantos en varios dominios. Subrayamos en los differentes contextos que vamos a citar la importencia de la theoria de los cuerpos valorados de caracteristica cero. Tambien utilizamos en nuestro trabajo un acceso con valoraciones. En el caso del cuerpo R x R munido de la valoracion y de la derivacion usuales, hay dos resultados cercanos. En [GS91], D. Y. Grigoriev et M. F. Singer consideran ecuaciones differenciales polinomiales P x,y,. .. ,y (n) = 0 con P ∈ Q [[x,Y 0 ,. .. ,Y n ]]. En tal caso proban que todo elemento de R x R solucion tiene sus exponentes en un Z-modulo finitamente generado.

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Mickaël Matusinski. Soporte de las soluciones de ecuaciones differenciales con coefficientes en cuerpos de series generalizadas de rango finito. Revista del Seminario iberoamericano de matematicas, 2007, IV, pp.39-50. ⟨hal-01446555⟩