Contribution to the theory of tile languages
Contribution à la théorie des langages de tuiles
Résumé
Tiles are finite, linear or tree-like structures, with a notion of overlapping. In computer science, they offer a useful way to represent musical objects, as studied by Janin [2016]. We will study the sets of tiles, especially as representations of algebraic objects, based on the theory of inverse semigroups.
Our main focus will be languages of tiles, and the appropriate recognizers, than can be defined by the adaptation to tiles of well-known notions over languages of words. We will look into the recognition by automata, by presenting automata over linear and tree-like tiles. We will remark the limits of the power of such automata.
While the notion of recognizability by morphisms is unsuitable to languages of tiles, we will define recognizability by premorphisms, or quasi-recognizability. We will study the links between quasi-recognizability and recognizability by tile automata.
We will finally look into the closure properties of the set of tile languages recognized by automata, and of the set of quasi-recognizable languages. The last part will be dedicated to linear tiles, and will present the monoid of restricted decompositions, a tool for the product of linear tile languages.
Les tuiles sont des structures finies, linéaires ou arborescentes, possédant une notion de chevauchement. Elles sont utiles en informatique pour représenter des objets musicaux, comme étudié par Janin. Nous étudierons les ensembles de tuiles, en particulier comme représentations d’objets algébriques, en se basant sur la théorie des semigroupes inversifs.
Nos principaux objets d’étude seront les langages de tuiles, et les reconnaisseurs appropriés, que l’on peut définir en adaptant aux tuiles des notions bien connues sur les langages de mots. Nous nous intéresserons à la reconnaissance par automate, en présentant des automates sur les tuiles linéaires et arborescentes. Nous remarquerons les limites de la puissance de tels automates.
Tandis que la notion de reconnaissance par morphisme de monoïdes est inadaptée aux langages de tuiles, nous définirons celle de reconnaissabilité par prémorphisme, ou quasi-reconnaissabilité. Nous étudierons les liens entre quasi-reconnaissabilité et reconnaissabilité par automate de tuile.
Nous explorerons enfin les propriétés de clôtures de l’ensemble de langages de tuiles reconnus par automate, et de ceux reconnus par prémorphisme. La dernière partie sera essentiellement consacrée aux tuiles linéaires, et présentera le monoïde des décompositions restreintes, un outil pour le produit de langages de tuiles linéaires.