Plea for a semidefinite optimization solver in complex numbers
Plaidoyer pour un solveur d'optimisation semi-définie positive en nombres complexes
Résumé
Numerical optimization in complex numbers has drawn much less attention than in real numbers. A widespread opinion is that, since a complex number is a pair of real numbers, the best strategy to solve a complex optimization problem is to transform it into real numbers and to solve the latter by a real number solver. This paper defends another point of view and presents three arguments to convince the reader that skipping the transformation phase and using a complex number algorithm, if any, can be much more efficient. This is demonstrated for the particular case of a semidefinite optimization problem solved by a feasible predictor-corrector primal-dual interior-point method. In that case, the complex number formulation has the advantage of (i) having a smaller memory storage, (ii) having a faster iteration, and (iii) requiring less iterations. The computing time saving is rooted in the fact that some operations (like the matrix-matrix product) are much faster for complex operands than for their double size real counterparts, so that the conclusions of this paper could be valid for other problems in which these operations count a great deal in the computing time. The iteration saving has its origin in the smaller (though complex) dimension of the problem in complex numbers.
L'optimisation numérique en nombres complexes a attiré beaucoup moins l'attention qu'en nombres réels. Une opinion très répandue est que, puisqu'un nombre complexe est un couple de nombres réels, la meilleure stratégie pour résoudre un problème d'optimisation en nombres complexes est de le transformer en nombres réels et de résoudre ce dernier par un solveur réel. Cet article défend un autre point de vue et présente trois arguments pour convaincre le lecteur que se passer de la transformation et d'utiliser un algorithme en nombres complexes, lorsqu'un tel algorithme est disponible, peut être beaucoup plus efficace. Ceci est mis en évidence pour le cas particulier des problèmes d'optimisation semi-définie positive résolus par une méthode de points-intérieurs primale-duale réalisable utilisant la technique des prédictions-corrections. Dans ce cas, la formulation en nombres complexes a l'avantage (i) de requérir moins d'espace-mémoire, (ii) d'avoir une itération plus rapide et (iii) de nécessiter moins d'itérations. Le gain en temps de calcul vient du fait que certaines opérations (comme le produit de deux matrices) sont beaucoup plus rapides pour des opérandes complexes que pour leurs contreparties réelles de taille double, si bien que les conclusions de cet article pourraient aussi être valables pour d'autres problèmes dans lesquels ces opérations interviennent pour une bonne part dans le temps de calcul. Le gain en nombre d'itérations provient de la dimension plus petite (bien que complexe) du problème en nombres complexes.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
